Які довжини та кути невідомі в трикутнику ABC, якщо AB дорівнює 6, AC дорівнює 10 і кут A дорівнює 110 градусам?

Яблонька

45

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему косинусов, поскольку нам известны длины двух сторон и угол между этими сторонами.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где:
- \(c\) - длина стороны, противолежащей углу \(C\)
- \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон
- \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\)

Мы знаем длины сторон AB и AC, а также угол A. Поэтому можем воспользоваться формулой для нахождения длины стороны BC.

Итак, подставим известные значения в формулу:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)\]

Подставим значения: AB = 6, AC = 10 и A = 110 градусов:
\[BC^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(110^\circ)\]

Рассчитаем значение косинуса угла 110 градусов:
\[\cos(110^\circ) = -0.342\]

Теперь вычислим \(BC^2\):
\[BC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0.342)\]

Выполняем вычисление:
\[BC^2 = 36 + 100 + 41.04\]
\[BC^2 = 177.04\]

Теперь найдём квадрат длины стороны BC:
\[BC = \sqrt{177.04}\]
\[BC \approx 13.31\]

Таким образом, длина стороны BC (противолежащей углу A) составляет примерно 13.31. Имея эту информацию, мы можем использовать теорему синусов для нахождения остальных углов.

Теорема синусов гласит:
\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Где a, b, и c - длины сторон треугольника, а A, B, и C - противолежащие углы.

Мы знаем стороны AC и BC, а также угол A. Поэтому можем воспользоваться формулой для нахождения угла B.

Подставим известные значения:
\[\frac{6}{\sin(110^\circ)} = \frac{13.31}{\sin(B)}\]

Выразим синус угла B:
\[\sin(B) = \frac{13.31 \cdot \sin(110^\circ)}{6}\]

Выполняем вычисление:
\[\sin(B) \approx 0.876\]

Теперь найдём значение угла B, используя обратный синус:
\[B = \arcsin(0.876)\]
\[B \approx 61.34^\circ\]

Таким образом, угол B составляет около 61.34 градусов.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем найти третий угол C,
\[C = 180^\circ - A - B\]
\[C = 180^\circ - 110^\circ - 61.34^\circ\]
\[C \approx 8.66^\circ\]

Итак, получаем, что угол C составляет около 8.66 градусов.

Таким образом, ответ на задачу: длина стороны BC около 13.31, угол B около 61.34 градусов и угол C около 8.66 градусов.