Які рівняння прямих є симетричними до прямої 2х-3у-12=0 відносно початку координат?

Сладкая_Леди

35

Для пошуку рівнянь прямих, які є симетричними до заданої прямої відносно початку координат, ми можемо скористатися властивістю симетрії. Симетрична пряма до заданої прямої відносно початку координат буде проходити через точку, що знаходиться на такому самому віддаленні від початку координат, що і точка перетину заданої прямої з координатною віссю.

Задаємо початкову пряму:
\[2x - 3y - 12 = 0\]

Спочатку знаходимо точку перетину початкової прямої з осі ОХ. Для цього прирівнюємо у виразі прямої до нуля:
\[2x - 3 \cdot 0 - 12 = 0\]
\[2x - 12 = 0\]
\[2x = 12\]
\[x = 6\]

Таким чином, точка перетину прямої з осі ОХ має координати (6 , 0).

Тепер знаходимо точку перетину початкової прямої з осі ОY. Для цього прирівнюємо x виразу прямої до нуля:
\[2 \cdot 0 - 3y - 12 = 0\]
\[-3y - 12 = 0\]
\[-3y = 12\]
\[y = -4\]

Таким чином, точка перетину прямої з осі ОY має координати (0 , -4).

Тепер, будуємо пряму, яка проходить через точки (6 , 0) та (0 , -4). Використаємо формулу для знайдення рівняння прямої, яка проходить через дві точки:
\(\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)

Підставляємо відповідні значення точок:
\(\dfrac{y - 0}{-4 - 0} = \dfrac{x - 6}{0 - 6}\)

Спрощуємо вираз:
\(\dfrac{y}{-4} = \dfrac{x - 6}{-6}\)

Тепер знаходимо симетричне рівняння до цього, помножуючи обидві частини на -1:
\(\dfrac{-y}{4} = \dfrac{-x + 6}{6}\)
\(\dfrac{y}{4} = \dfrac{x - 6}{6}\)

Множимо обидві частини на 4, для того щоб виразити вiдомu:
\(y = \dfrac{4}{6}(x-6)\)
\(y = \dfrac{2}{3}(x-6)\)

Таким чином, симетричними до заданої прямої відносно початку координат є прямі, які мають рівняння \(y = \dfrac{2}{3}(x-6)\).