Які рівняння прямих є симетричними до прямої 3х – 2у = 6 відносно: а) вісі Ох; б) вісі Оу; в) початку координат?

Морской_Путник_1247

39

Для розв"язання цієї задачі, спочатку необхідно з"ясувати, що розуміється під симетрією прямої відносно вісей або початку координат.

Симетрія відносно вісі Ох означає, що якщо ми візьмемо точку на прямій та проведемо перпендикуляр до вісі Оу через цю точку, то цей перпендикуляр торкається прямої в точці, яка лежить на протилежному боці від вісі Ох. З цим уявленням можна продовжити пряму на протилежну сторону від вісі Ох з таким самим нахилом, що й у початковій прямій.

Аналогічно, симетрія відносно вісі Оу означає, що якщо провести перпендикуляр до вісі Ох через деяку точку прямої, то ця точка буде мати таку ж відстань від вісі Оу, але з протилежного боку. При такому уявленні можна продовжити пряму на протилежну сторону від вісі Оу з тим самим нахилом, що й у початковій прямій.

Нарешті, симетрія відносно початку координат означає, що пряма має симетрію в обох напрямках одночасно, відносно обох вісей.

Тепер перейдемо до розв"язання задачі.

а) Щоб знайти рівняння прямих, які є симетричними до прямої \(3х - 2у = 6\) відносно вісі Ох, ми маємо знайти таку пряму, яка буде мати такий самий нахил, але буде розташована з протилежної сторони від вісі Ох. Оскільки нахил прямої в даному рівнянні дорівнює \(\frac{3}{2}\), то симетрична пряма матиме такий самий нахил, але з протилежним знаком.

Отже, симетрична пряма до вісі Ох матиме рівняння \(3х + 2у = c\), де \(c\) - це будь-яка константа.

б) Для знаходження рівняння прямих, які є симетричними до прямої \(3х - 2у = 6\) відносно вісі Оу, ми маємо знайти таку пряму, яка буде мати такий же нахил, але буде розташована з протилежної сторони від вісі Оу. Враховуючи, що нахил прямої в даному рівнянні дорівнює \(\frac{2}{3}\), симетрична пряма матиме такий самий нахил, але з протилежним знаком.

Тому рівняння симетричної прямої до вісі Оу буде записуватись у вигляді \(-3х + 2у = d\), де \(d\) - константа.

в) Для того щоб знайти рівняння прямих, які є симетричними до прямої \(3х - 2у = 6\) відносно початку координат, ми маємо виконати дві послідовні симетрії. Спочатку, ми виконаємо симетрію відносно вісі Ох, а потім візьмемо отриману пряму і виконаємо симетрію відносно вісі Оу.

Використовуючи результи з пункту (а) та (б), ми можемо записати рівняння прямих, які є симетричними до початкової прямої відносно Ох та Оу:

\[
\begin{align*}
&3х + 2y = c \\
&-3х + 2y = d \\
\end{align*}
\]

Тепер, виконуючи симетрію відносно вісі Оу, ми можемо отримати рівняння симетричних прямих до початкової прямої відносно початку координат:

\[
\begin{align*}
&3х + 2y = c \\
&3х - 2y = d \\
\end{align*}
\]

Отже, рівняння прямих, які є симетричними до прямої \(3х - 2у = 6\) відносно: а) вісі Ох - \(3х + 2у = c\); б) вісі Оу - \(3х - 2у = d\); в) початку координат - \(3х - 2у = d\).