Які є сторони даного рівнобедреного трикутника, якщо периметр дорівнює 36 см, а бічна сторона ділиться точкою дотику

Лягушка_8146

59

Для решения данной задачи, давайте обозначим стороны треугольника. Пусть основание равно \( a \), а боковая сторона равна \( b \). Также нам дано, что боковая сторона делится точкой касания вписанной окружности в соотношении 5:2. Мы можем использовать это знание, чтобы выразить одну из сторон через другую.

По определению, радиуc \( r \) вписанного круга равен расстоянию от центра вписанной окружности до любой из ее сторон. Так как боковая сторона делится точкой касания в отношении 5:2, мы можем записать следующее:

\(\frac{5}{7} \cdot b + \frac{2}{7} \cdot b = r\)

Далее, периметр треугольника выражается как сумма всех его сторон. В нашем случае он равен 36 см:

\(a + b + b = 36\)

Из этого уравнения мы можем выразить основание:

\(a = 36 - 2b\)

Теперь мы можем использовать формулу для радиуса. Радиус можно выразить через площадь треугольника \( S \) и полупериметр \( p \) по формуле: \(r = \frac{S}{p}\), где \( S \) равна \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-b)}\) по формуле Герона, а \( p \) равен \(\frac{a+b+b}{2}\).

Мы знаем также, что площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту \( h \) по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\). Боковая сторона является высотой треугольника, опущенной на основание. Таким образом, мы можем записать формулу для площади:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\)

Теперь мы можем выразить радиус через основание и боковую сторону:

\(r = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b}{\frac{a+b+b}{2}}\)

Подставляем выражение для основания и упрощаем:

\(r = \frac{\frac{1}{2} \cdot (36-2b) \cdot b}{\frac{(36-2b)+b+b}{2}}\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(r = \frac{b(36-2b)}{36}\)

Нам осталось решить это уравнение и найти значения для \( a \) и \( b \). Решив это уравнение, получим два корня: \( b = 6 \) и \( b = 12 \).

Таким образом, стороны данного рівнобедреного трикутника равны \( a = 36 - 2 \cdot 6 = 24 \) и \( b = 6 \), альтернативно \( a = 36 - 2 \cdot 12 = 12 \) и \( b = 12 \).