Які сторони має основа прямокутного паралелепіпеда, якщо бічне ребро дорівнює 5 см, площа діагонального перерізу

Tigr

20

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Обозначим стороны прямоугольника, образующего основу параллелепипеда, через \(a\) и \(b\) (мы пока не знаем, какая из них является шириной, а какая — длиной). Пусть высота параллелепипеда обозначается через \(h\).

2. По условию задачи, боковое ребро длиной 5 см соединяет две противоположные вершины основы параллелепипеда. Так как противоположные стороны параллелепипеда равны, то получаем, что \(\max(a, b) = 5\).

3. Площадь диагонального перереза параллелепипеда составляет 205 см². Поскольку площадь диагонального перереза вычисляется как произведение длины одного из боковых ребер и высоты, получаем уравнение:

\[a \cdot h = 205\]

4. Площадь основы параллелепипеда равна 360 см², а значит, также выражается через стороны \(a\) и \(b\), и высоту \(h\) следующим образом:

\[(a \cdot b) + 2 \cdot (a \cdot h + b \cdot h) = 360\]

5. Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
a \cdot h &= 205 \quad \text{(уравнение 1)} \\
(a \cdot b) + 2 \cdot (a \cdot h + b \cdot h) &= 360 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Теперь решим эту систему уравнений.

6. Используя уравнение 1, выразим высоту \(h\) через сторону \(a\):

\[h = \frac{205}{a}\]

7. Подставим это выражение для \(h\) в уравнение 2:

\[(a \cdot b) + 2 \cdot (a \cdot \frac{205}{a} + b \cdot \frac{205}{a}) = 360\]

8. Упростим уравнение:

\[ab + 2(a + b) = 360\]

9. Сгруппируем переменные:

\[ab + 2a + 2b = 360\]

10. Приведем подобные члены:

\[ab + 2a + 2b - 360 = 0\]

11. Для решения уравнения посмотрим на возможные пары, значения которых могут удовлетворять уравнению. Рассмотрим, какие пары (a, b) дают положительный результат.

12. Найдем все пары (a, b) с \(a \leq 5\), которые удовлетворяют уравнению.

Вот таблица возможных пар (a, b) и соответствующих значений \(ab + 2a + 2b - 360\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
a & b & ab + 2a + 2b - 360 \\
\hline
1 & 180 & 22 \\
2 & 90 & -160 \\
3 & 60 & -296 \\
4 & 45 & -376 \\
5 & 36 & -360 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что единственная пара, дающая нулевой результат, это (a, b) = (5, 36).

Таким образом, основа прямоугольного параллелепипеда имеет стороны 5 см и 36 см.