Які ймовірності того, що тризначне число, утворене з трьох вибраних карток, буде кратним трьом?

Светлый_Ангел

39

Хорошо, давайте решим эту задачу. Чтобы найти вероятность того, что трехзначное число, образованное из трех выбранных карт, будет кратным трём, нам нужно понять, какие трехзначные числа кратны трём и сколько всего трехзначных чисел можно образовать из этих карток.

Кратность числа трём означает, что число делится на тройку без остатка. Теперь давайте рассмотрим трехзначные числа, которые могут быть образованы из карток. У нас есть 4 масти карт - пики, трефы, бубны и червы, и у каждой масти по 13 различных карт от туза до короля. Таким образом, общее число карток равно 4 масти × 13 карт = 52 карты.

Теперь рассмотрим возможные трехзначные числа, которые можно образовать. Поскольку у нас нет никаких дополнительных ограничений, мы можем выбрать любые три карты из 52-х, и они могут быть размещены в любом порядке. То есть у нас есть \({{52}\choose{3}}\) способов выбрать три карты из 52-х.

Теперь давайте найдем количество трехзначных чисел, кратных трём. Мы знаем, что для того, чтобы число было кратным трём, сумма его цифр также должна быть кратной трём. Таким образом, нам нужно найти все возможные комбинации трех карт, сумма чисел которых будет кратной трём.

Для иллюстрации давайте рассмотрим все возможные ситуации:

1. Когда сумма всех трех чисел равна 3:
- Единственная комбинация таких карт - (1, 1, 1)
- Вероятность этой комбинации: \(\frac{1}{{52 \choose 3}}\)

2. Когда сумма всех трех чисел равна 6:
- Три комбинации таких карт - (3, 2, 1), (2, 2, 2), (3, 1, 2)
- Вероятность каждой из этих комбинаций: \(\frac{3}{{52 \choose 3}}\)

3. Когда сумма всех трех чисел равна 9:
- Шесть комбинаций таких карт - (3, 3, 3), (6, 2, 1), (6, 1, 2), (4, 5, 0), (4, 3, 2), (5, 4, 0)
- Вероятность каждой из этих комбинаций: \(\frac{6}{{52 \choose 3}}\)

4. Когда сумма всех трех чисел равна 12:
- Десять комбинаций таких карт - (6, 3, 3), (3, 3, 6), (3, 6, 3), (5, 5, 2), (5, 2, 5), (2, 5, 5), (4, 4, 4), (4, 3, 5), (4, 5, 3), (3, 4, 5)
- Вероятность каждой из этих комбинаций: \(\frac{10}{{52 \choose 3}}\)

5. Когда сумма всех трех чисел равна 15:
- Пятнадцать комбинаций таких карт - (6, 6, 3), (6, 3, 6), (3, 6, 6), (5, 5, 5), (5, 4, 6), (5, 6, 4), (4, 6, 5), (6, 4, 5), (4, 5, 6), (4, 4, 7), (4, 7, 4), (7, 4, 4), (7, 5, 3), (5, 3, 7), (3, 7, 5)
- Вероятность каждой из этих комбинаций: \(\frac{15}{{52 \choose 3}}\)

Теперь нам нужно просуммировать вероятности всех этих комбинаций, чтобы получить общую вероятность того, что трехзначное число, образованное из трех выбранных карт, будет кратным трём:

\[\frac{1}{{52 \choose 3}} + \frac{3}{{52 \choose 3}} + \frac{6}{{52 \choose 3}} + \frac{10}{{52 \choose 3}} + \frac{15}{{52 \choose 3}}\]

Мы можем упростить эту дробь до нескольких значений. Ответ будет в виде десятичной дроби, и его можно перевести в проценты или оставить в таком виде в зависимости от требований задачи.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как найти вероятность того, что трехзначное число, образованное из трех выбранных карт, будет кратным трём. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!