Які значення x задовольняють нерівність log2/3x(6-x) < log2/3(x+1)?

  • 7
Які значення x задовольняють нерівність log2/3x(6-x) < log2/3(x+1)?
Letuchaya
3
Для начала, рассмотрим выражения в данной неравенстве более детально. У нас есть два логарифма: log23x(6x) и log23(x+1). Для удобства, предположим, что x>0, так как логарифмы определены только для положительных чисел.

Теперь, чтобы решить данную неравенство, нам необходимо учитывать несколько условий:

1. Делитель каждого логарифма должен быть положительным, то есть 23>0.
2. Аргументы логарифма должны быть положительными или меньше 6 для первого логарифма и положительными или больше -1 для второго логарифма.

Давайте разберем каждый случай по отдельности.

Сначала рассмотрим условие 23>0. Здесь делитель положителен, поэтому это условие всегда выполняется.

Теперь рассмотрим условия для каждого логарифма:

1. Для первого логарифма log23x(6x), мы имеем два множителя, x и 6x. Чтобы найти допустимые значения для x, нам нужно учесть следующие условия:
a. Оба множителя должны быть положительными или равными 0. Это значит, что x>0 и 6x>0. Решая это неравенство, получаем, что 0<x<6.
b. Мы также должны учесть, что значения x не могут быть такими, что оба множителя равны 0, так как логарифм от 0 не определен. Поэтому исключаем x=0 и x=6 из допустимых значений для x.

2. Для второго логарифма log23(x+1), аргумент должен быть положительным или больше -1. Здесь у нас нет ограничений на x, так как даже при x=1 мы получаем корректное значение, так как log230 равно -∞.

Теперь, имея все эти условия в виду, мы можем решить неравенство.

1. Проверяем условие 23>0. Оно выполняется всегда.

2. Проверяем условия для первого логарифма: 0<x<6 и x0,x6.

3. Проверяем условие для второго логарифма: нет ограничений на x.

Теперь мы готовы решить неравенство. Учитывая все условия, множество всех допустимых значений x будет являться пересечением всех допустимых интервалов. Обозначим это множество как D:

D=(0,6){0,6}

Это множество содержит все допустимые значения x, которые удовлетворяют данной неравенству log23x(6x)<log23(x+1) при условии 23>0.