Які значення x задовольняють нерівність log2/3x(6-x) < log2/3(x+1)?

Letuchaya

3

Для начала, рассмотрим выражения в данной неравенстве более детально. У нас есть два логарифма: ${\log }_{\frac{2}{3}}x(6-x)$ и ${\log }_{\frac{2}{3}}(x+1)$. Для удобства, предположим, что $x>0$, так как логарифмы определены только для положительных чисел.

Теперь, чтобы решить данную неравенство, нам необходимо учитывать несколько условий:

1. Делитель каждого логарифма должен быть положительным, то есть $\frac{2}{3}>0$.
2. Аргументы логарифма должны быть положительными или меньше 6 для первого логарифма и положительными или больше -1 для второго логарифма.

Давайте разберем каждый случай по отдельности.

Сначала рассмотрим условие $\frac{2}{3}>0$. Здесь делитель положителен, поэтому это условие всегда выполняется.

Теперь рассмотрим условия для каждого логарифма:

1. Для первого логарифма ${\log }_{\frac{2}{3}}x(6-x)$, мы имеем два множителя, $x$ и $6-x$. Чтобы найти допустимые значения для $x$, нам нужно учесть следующие условия:
a. Оба множителя должны быть положительными или равными 0. Это значит, что $x>0$ и $6-x>0$. Решая это неравенство, получаем, что $0<x<6$.
b. Мы также должны учесть, что значения $x$ не могут быть такими, что оба множителя равны 0, так как логарифм от 0 не определен. Поэтому исключаем $x=0$ и $x=6$ из допустимых значений для $x$.

2. Для второго логарифма ${\log }_{\frac{2}{3}}(x+1)$, аргумент должен быть положительным или больше -1. Здесь у нас нет ограничений на $x$, так как даже при $x=-1$ мы получаем корректное значение, так как ${\log }_{\frac{2}{3}}0$ равно -∞.

Теперь, имея все эти условия в виду, мы можем решить неравенство.

1. Проверяем условие $\frac{2}{3}>0$. Оно выполняется всегда.

2. Проверяем условия для первого логарифма: $0<x<6$ и $x\ne 0,x\ne 6$.

3. Проверяем условие для второго логарифма: нет ограничений на $x$.

Теперь мы готовы решить неравенство. Учитывая все условия, множество всех допустимых значений $x$ будет являться пересечением всех допустимых интервалов. Обозначим это множество как $D$:

$$D=(0,6)\setminus \{0,6\}$$

Это множество содержит все допустимые значения $x$, которые удовлетворяют данной неравенству ${\log }_{\frac{2}{3}}x(6-x)<{\log }_{\frac{2}{3}}(x+1)$ при условии $\frac{2}{3}>0$.