Які значення x задовольняють нерівність log2/3x(6-x) < log2/3(x+1)?

Letuchaya

3

Для начала, рассмотрим выражения в данной неравенстве более детально. У нас есть два логарифма: \(\log_{\frac{2}{3}}x(6-x)\) и \(\log_{\frac{2}{3}}(x+1)\). Для удобства, предположим, что \(x > 0\), так как логарифмы определены только для положительных чисел.

Теперь, чтобы решить данную неравенство, нам необходимо учитывать несколько условий:

1. Делитель каждого логарифма должен быть положительным, то есть \(\frac{2}3 > 0\).
2. Аргументы логарифма должны быть положительными или меньше 6 для первого логарифма и положительными или больше -1 для второго логарифма.

Давайте разберем каждый случай по отдельности.

Сначала рассмотрим условие \(\frac{2}3 > 0\). Здесь делитель положителен, поэтому это условие всегда выполняется.

Теперь рассмотрим условия для каждого логарифма:

1. Для первого логарифма \(\log_{\frac{2}{3}}x(6-x)\), мы имеем два множителя, \(x\) и \(6-x\). Чтобы найти допустимые значения для \(x\), нам нужно учесть следующие условия:
a. Оба множителя должны быть положительными или равными 0. Это значит, что \(x > 0\) и \(6-x > 0\). Решая это неравенство, получаем, что \(0 < x < 6\).
b. Мы также должны учесть, что значения \(x\) не могут быть такими, что оба множителя равны 0, так как логарифм от 0 не определен. Поэтому исключаем \(x = 0\) и \(x = 6\) из допустимых значений для \(x\).

2. Для второго логарифма \(\log_{\frac{2}{3}}(x+1)\), аргумент должен быть положительным или больше -1. Здесь у нас нет ограничений на \(x\), так как даже при \(x = -1\) мы получаем корректное значение, так как \(\log_{\frac{2}{3}}0\) равно -∞.

Теперь, имея все эти условия в виду, мы можем решить неравенство.

1. Проверяем условие \(\frac{2}3 > 0\). Оно выполняется всегда.

2. Проверяем условия для первого логарифма: \(0 < x < 6\) и \(x \neq 0, x \neq 6\).

3. Проверяем условие для второго логарифма: нет ограничений на \(x\).

Теперь мы готовы решить неравенство. Учитывая все условия, множество всех допустимых значений \(x\) будет являться пересечением всех допустимых интервалов. Обозначим это множество как \(D\):

\[D = (0, 6) \setminus \{0, 6\}\]

Это множество содержит все допустимые значения \(x\), которые удовлетворяют данной неравенству \(\log_{\frac{2}{3}}x(6-x) < \log_{\frac{2}{3}}(x+1)\) при условии \(\frac{2}{3} > 0\).