Яким буде кут нахилу діагоналі паралелепіпеда до площини основи, якщо прямокутник зі сторонами 6 і 8 є основою

Magnit

64

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися зв"язками між сторонами та кутами паралелепіпеда.

Зауважимо, що велика діагональ паралелепіпеда, яка є діагоналлю основи, має таку ж довжину, як і діагональ прямокутника, що є його основою.

Оскільки ми знаємо довжину сторін прямокутника (6 та 8), то за теоремою Піфагора можна знайти довжину діагоналі основи.

Застосуємо формулу теореми Піфагора для прямокутного трикутника з катетами довжинами 6 та 8:

\[C^2 = 6^2 + 8^2\]
\[C^2 = 36 + 64\]
\[C^2 = 100\]
\[C = 10\]

Таким чином, довжина діагоналі основи паралелепіпеда дорівнює 10.

Тепер давайте розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю однієї з бічних граней паралелепіпеда та площиною основи. За умовою задачі, кут між цією діагоналлю та площиною дорівнює 60°.

Ми можемо використати тригонометрію, щоб знайти кут нахилу діагоналі до площини основи.

За визначенням, тангенс кута дорівнює протилежній стороні поділеній на прилеглу сторону.

У нашому випадку, ми застосовуємо тангенс до кута 60°, тож:

\[\tan(60°) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{прилегла сторона}}\]

Знаючи, що протилежна від кута 60° сторона - це висота паралелепіпеда, а прилегла сторона - це довжина основи, ми можемо записати наше співвідношення так:

\[\tan(60°) = \frac{\text{висота}}{10}\]

Оскільки ми зацікавлені в куті нахилу діагоналі до площини основи, а не в самій висоті, нам потрібно вирішити це співвідношення для висоти.

Ми можемо це зробити, помноживши обидві сторони рівняння на 10:

\[\tan(60°) \cdot 10 = \text{висота}\]
\[\sqrt{3} \cdot 10 = \text{висота}\]
\[\text{висота} ≈ 17.32\]

Отже, висота паралелепіпеда дорівнює приблизно 17.32.

Наразі ми маємо дві сторони паралелепіпеда - діагональ основи (10) та висоту (приблизно 17.32). Застосуємо відповідне співвідношення, щоб знайти шуканий кут нахилу діагоналі:

\[\text{котангенс кута} = \frac{\text{діагональ}}{\text{висота}}\]
\[\text{котангенс кута} = \frac{10}{17.32}\]
\[\text{котангенс кута} ≈ 0.577\]

Тепер, щоб знайти сам кут нахилу, ми використаємо обернену функцію котангенса (арккотангенс):

\[\text{кут} = \arctan(\text{котангенс кута})\]
\[\text{кут} ≈ \arctan(0.577)\]
\[\text{кут} ≈ 29.74°\]

Тому кут нахилу діагоналі паралелепіпеда до площини основи дорівнює приблизно 29.74°.