Яким буде об єм та площа поверхні тіла обертання, якщо прямокутний трикутник з катетами 30см і 40см буде обертатися

Светлый_Ангел

29

Чтобы найти объем и площадь поверхности тела вращения, необходимо использовать формулы, связанные с телами, образованными вращением примитивных фигур.

Дано, что прямоугольный треугольник с катетами 30 см и 40 см вращается вокруг гипотенузы. Давайте пошагово решим данную задачу.

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
где \(a\) и \(b\) - длины катетов, а \(c\) - длина гипотенузы.

В данном случае, длина гипотенузы равна:
\[c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ см}\]

Шаг 2: Найдем объем тела вращения. Для этого воспользуемся формулой:
\[V = \pi \times r^2 \times h\]
где \(V\) - объем, \(\pi\) - число Пи, \(r\) - радиус, \(h\) - высота.

В нашем случае, радиус равен половине длины гипотенузы:
\[r = \frac{c}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ см}\]

Высоту мы не знаем, но можно заметить, что треугольник будет образовывать конус при вращении вокруг гипотенузы. Известно, что высота конуса равна длине гипотенузы. Таким образом:
\[h = c = 50 \text{ см}\]

Подставим значения в формулу:
\[V = \pi \times 25^2 \times 50 = 62500\pi \text{ см}^3\]

Итак, объем тела вращения равен \(62500\pi \text{ см}^3\).

Шаг 3: Найдем площадь поверхности тела вращения. Для этого воспользуемся формулой:
\[S = 2\pi \times r \times h + \pi \times r^2\]
где \(S\) - площадь поверхности.

Подставим значения и рассчитаем площадь:
\[S = 2\pi \times 25 \times 50 + \pi \times 25^2 = 2500\pi + 625\pi = 3125\pi \text{ см}^2\]

Итак, площадь поверхности тела вращения равна \(3125\pi \text{ см}^2\).

Мы получили ответы на задачу: объем тела вращения составляет \(62500\pi \text{ см}^3\), а площадь поверхности - \(3125\pi \text{ см}^2\), где \(\pi\) - это число Пи.