Яким буде радіус основи циліндра, якщо площина, проведена паралельно його осі, перетинає основу по хорді, яка стягує

Chudesnyy_Korol

42

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть свойства окружности и цилиндра.

Первое, что нам известно, это то, что хорда, проходящая через центр окружности (центральная хорда), создает угол в 90 градусов с другой хордой, которая видна под прямым углом из центра второго основания цилиндра. Это может быть полезно в дальнейшем решении.

Для начала, давайте представим себе ситуацию и изобразим это на рисунке:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & O& & & & & & & \\ & & & & & /& |& & & & & & \\ & & & & /& |& & & & & & \\ & & & /& |& & & & & & \\ & & /& |& & & & & & \\ & /& |& & & & & & \\ A& & |& & & & & \\ & & |& & & & & \\ & & |& & & & & \\ & & |& & & & & B\\ & & |& & & & \\ & & |& & & C& \\ & & |& & \\ & & |& & \\ & & |& & \\ & & |& & \\ & & |& & \\ & & |& & \\ & & |& & \\ & & |& & \end{array}$$

На рисунке, $O$ - центр окружности, $A$ и $B$ - основания цилиндра, а $C$ - точка пересечения параллельной плоскости и основы цилиндра.

Также, по условию, известно, что хорда $AB$ стягивает дугу окружности, равную 120 градусам (или треть окружности). Это означает, что угол $ACB$ также равен 120 градусам.

Теперь вспомним, что угол, образованный центральной хордой и хордой, видимой под прямым углом из центра, является прямым углом. Это означает, что угол $ACB=90$ градусов.

Таким образом, мы имеем два угла в треугольнике $ACB$, равные 120 и 90 градусов соответственно. Из этого следует, что третий угол треугольника равен $360-120-90=150$ градусов.

Далее, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$:

$$\begin{array}{cccccccccc}& & & & & & O& & & \\ & & & & /& |& & & \\ & & & /& |& & & \\ & & /& |& & & \\ & /& |& & & \\ A& & |& & & \\ & & |& & & \\ & & |& & & \\ & & |& & & C\\ & & |& \\ & & |& \end{array}$$

Мы знаем, что высота цилиндра равна $4\sqrt{3}$. Пусть радиус основы цилиндра будет $r$.

В треугольнике $OAC$ у нас есть прямой угол $COA=90$ градусов и высота $AC=4\sqrt{3}$.

Воспользуемся теперь теоремой Пифагора. По этой теореме, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2$$

Подставим известные значения:

$$(4\sqrt{3}{)}^2=r^2+(r-4\sqrt{3}{)}^2$$

Упростим это уравнение:

$$48=r^2+(r^2-8r\sqrt{3}+48)$$

Разложим это уравнение:

$$48=2r^2-8r\sqrt{3}+48$$

Сократим на 2:

$$24=r^2-4r\sqrt{3}+24$$

Теперь вычтем 24 с обоих сторон:

$$0=r^2-4r\sqrt{3}$$

Разделим на $r$:

$$0=r-4\sqrt{3}$$

Таким образом, получаем:

$$r=4\sqrt{3}$$

Итак, радиус основы цилиндра равен $4\sqrt{3}$.