Яким буде радіус основи циліндра, якщо площина, проведена паралельно його осі, перетинає основу по хорді, яка стягує

Chudesnyy_Korol

42

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть свойства окружности и цилиндра.

Первое, что нам известно, это то, что хорда, проходящая через центр окружности (центральная хорда), создает угол в 90 градусов с другой хордой, которая видна под прямым углом из центра второго основания цилиндра. Это может быть полезно в дальнейшем решении.

Для начала, давайте представим себе ситуацию и изобразим это на рисунке:

\[
\begin{array}{cccccccccccccc}
& & & & & & O & & & & & & & \\
& & & & & / & | & \ & & \ & & & \\
& & & & / & | & \ & & \ & & & \\
& & & / & | & \ & & \ & & & \\
& & / & | & \ & & \ & & & \\
& / & | & \ & & \ & & & \\
A & & | & \ & & \ & & \\
& & | & \ & & \ & & \\
& & | & \ & & \ & & \\
& & | & \ & & \ & & B \\
& & | & \ & & \ & \\
& & | & \ & & C & \\
& & | & \ & \\
& & | & \ & \\
& & | & \ & \\
& & | & \ & \\
& & | & \ & \\
& & | & \ & \\
& & | & \ & \\
& & | & \ & \\
\end{array}
\]

На рисунке, \(O\) - центр окружности, \(A\) и \(B\) - основания цилиндра, а \(C\) - точка пересечения параллельной плоскости и основы цилиндра.

Также, по условию, известно, что хорда \(AB\) стягивает дугу окружности, равную 120 градусам (или треть окружности). Это означает, что угол \(ACB\) также равен 120 градусам.

Теперь вспомним, что угол, образованный центральной хордой и хордой, видимой под прямым углом из центра, является прямым углом. Это означает, что угол \(ACB = 90\) градусов.

Таким образом, мы имеем два угла в треугольнике \(ACB\), равные 120 и 90 градусов соответственно. Из этого следует, что третий угол треугольника равен \(360 - 120 - 90 = 150\) градусов.

Далее, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник \(OAC\):

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& & & & & & O & & & \\
& & & & / & | & \ & & \\
& & & / & | & \ & & \\
& & / & | & \ & & \\
& / & | & \ & & \\
A & & | & \ & & \\
& & | & \ & & \\
& & | & \ & & \\
& & | & \ & & C \\
& & | & \ \\
& & | & \ \\
\end{array}
\]

Мы знаем, что высота цилиндра равна \(4\sqrt{3}\). Пусть радиус основы цилиндра будет \(r\).

В треугольнике \(OAC\) у нас есть прямой угол \(COA = 90\) градусов и высота \(AC = 4\sqrt{3}\).

Воспользуемся теперь теоремой Пифагора. По этой теореме, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[
AC^2 = OA^2 + OC^2
\]

Подставим известные значения:

\[
(4\sqrt{3})^2 = r^2 + (r - 4\sqrt{3})^2
\]

Упростим это уравнение:

\[
48 = r^2 + (r^2 - 8r\sqrt{3} + 48)
\]

Разложим это уравнение:

\[
48 = 2r^2 - 8r\sqrt{3} + 48
\]

Сократим на 2:

\[
24 = r^2 - 4r\sqrt{3} + 24
\]

Теперь вычтем 24 с обоих сторон:

\[
0 = r^2 - 4r\sqrt{3}
\]

Разделим на \(r\):

\[
0 = r - 4\sqrt{3}
\]

Таким образом, получаем:

\[
r = 4\sqrt{3}
\]

Итак, радиус основы цилиндра равен \(4\sqrt{3}\).