Чему равны два натуральных числа, задуманные Сережей, если известно, что их сумма составляет 22, а разность находится

  • 55
Чему равны два натуральных числа, задуманные Сережей, если известно, что их сумма составляет 22, а разность находится в интервале от 10 до 14? Найдите все возможные варианты и докажите, что других решений нет.
Magicheskiy_Zamok
63
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первое задуманное число будет x, а второе задуманное число будет y.

У нас есть два условия для этих чисел:

1. Сумма чисел составляет 22: x+y=22.
2. Разность чисел находится в интервале от 10 до 14: 10|xy|14.

Первое условие говорит нам, что сумма чисел x и y равна 22. Мы можем решить это уравнение, выразив одну из переменных через другую.

x+y=22

Вычитаем x из обеих частей:

y=22x

Теперь у нас есть выражение для переменной y через x.

Второе условие говорит нам, что разность чисел x и y находится в интервале от 10 до 14. Мы можем записать это как неравенство:

10|xy|14

Теперь заменим значение y в этом неравенстве на выражение 22x:

10|x(22x)|14

10|2x22|14

Мы можем упростить это неравенство, разделив его на два неравенства:

1. |2x22|10
2. |2x22|14

Для первого неравенства:

2x2210 или 2x2210

Решим каждое неравенство отдельно:

1. 2x2210

Добавляем 22 к обеим сторонам:

2x32

Делим обе стороны на 2:

x16

2. 2x2210

Добавляем 22 к обеим сторонам:

2x12

Делим обе стороны на 2:

x6

Таким образом, мы получили, что первое задуманное число x должно быть больше или равно 16, и одновременно меньше или равно 6.

Для второго неравенства:

14|2x22|

Для выражения с абсолютным значением, у нас есть два случая:

1. 2x220: в этом случае модуль не нужен и мы можем записать неравенство без него:

142x22

Добавляем 22 к обеим сторонам:

362x

Делим обе стороны на 2:

x18

2. 2x22<0: в этом случае модуль меняет знак у выражения, поэтому мы можем записать неравенство с обратным знаком:

14(2x22)

Раскрываем скобку:

142x+22

Вычитаем 22 из обеих сторон:

82x

Меняем стороны неравенства и меняем знак:

2x8

Делим обе стороны на 2:

x4

Таким образом, мы получили, что первое задуманное число x должно быть меньше или равно 18, и одновременно больше или равно 4.

Теперь, объединяя полученные результаты, мы можем сказать, что значение первого задуманного числа x должно находиться в интервале от 4 до 6, включая границы.

Чтобы найти все возможные варианты, мы можем просто перебрать все значения x в этом интервале и вычислить соответствующее значение y=22x.

Подставляя значения для x, мы получаем:

1. Когда x=4, y=224=18.
2. Когда x=5, y=225=17.
3. Когда x=6, y=226=16.

Таким образом, у нас три возможных варианта для задуманных чисел Сережей: (4, 18), (5, 17), (6, 16).

Теперь нам остается только доказать, что других решений нет. Мы проверили все возможные значения для x в интервале от 4 до 6 и соответствующие значения для y при каждом x. Мы также учли все ограничения, что сумма чисел равна 22 и разность чисел находится в интервале от 10 до 14. Поэтому других решений быть не может.

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ помог вам понять задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.