Чему равны два натуральных числа, задуманные Сережей, если известно, что их сумма составляет 22, а разность находится

Magicheskiy_Zamok

63

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первое задуманное число будет \(x\), а второе задуманное число будет \(y\).

У нас есть два условия для этих чисел:

1. Сумма чисел составляет 22: \(x + y = 22\).
2. Разность чисел находится в интервале от 10 до 14: \(10 \le |x - y| \le 14\).

Первое условие говорит нам, что сумма чисел \(x\) и \(y\) равна 22. Мы можем решить это уравнение, выразив одну из переменных через другую.

\[x + y = 22\]

Вычитаем \(x\) из обеих частей:

\[y = 22 - x\]

Теперь у нас есть выражение для переменной \(y\) через \(x\).

Второе условие говорит нам, что разность чисел \(x\) и \(y\) находится в интервале от 10 до 14. Мы можем записать это как неравенство:

\[10 \le |x - y| \le 14\]

Теперь заменим значение \(y\) в этом неравенстве на выражение \(22 - x\):

\[10 \le |x - (22 - x)| \le 14\]

\[10 \le |2x - 22| \le 14\]

Мы можем упростить это неравенство, разделив его на два неравенства:

1. \(|2x - 22| \ge 10\)
2. \(|2x - 22| \le 14\)

Для первого неравенства:

\(2x - 22 \ge 10\) или \(2x - 22 \le -10\)

Решим каждое неравенство отдельно:

1. \(2x - 22 \ge 10\)

Добавляем 22 к обеим сторонам:

\(2x \ge 32\)

Делим обе стороны на 2:

\(x \ge 16\)

2. \(2x - 22 \le -10\)

Добавляем 22 к обеим сторонам:

\(2x \le 12\)

Делим обе стороны на 2:

\(x \le 6\)

Таким образом, мы получили, что первое задуманное число \(x\) должно быть больше или равно 16, и одновременно меньше или равно 6.

Для второго неравенства:

\(14 \ge |2x - 22|\)

Для выражения с абсолютным значением, у нас есть два случая:

1. \(2x - 22 \ge 0\): в этом случае модуль не нужен и мы можем записать неравенство без него:

\[14 \ge 2x - 22\]

Добавляем 22 к обеим сторонам:

\[36 \ge 2x\]

Делим обе стороны на 2:

\[x \le 18\]

2. \(2x - 22 < 0\): в этом случае модуль меняет знак у выражения, поэтому мы можем записать неравенство с обратным знаком:

\[14 \ge -(2x - 22)\]

Раскрываем скобку:

\[14 \ge -2x + 22\]

Вычитаем 22 из обеих сторон:

\[-8 \ge -2x\]

Меняем стороны неравенства и меняем знак:

\[2x \ge 8\]

Делим обе стороны на 2:

\[x \ge 4\]

Таким образом, мы получили, что первое задуманное число \(x\) должно быть меньше или равно 18, и одновременно больше или равно 4.

Теперь, объединяя полученные результаты, мы можем сказать, что значение первого задуманного числа \(x\) должно находиться в интервале от 4 до 6, включая границы.

Чтобы найти все возможные варианты, мы можем просто перебрать все значения \(x\) в этом интервале и вычислить соответствующее значение \(y = 22 - x\).

Подставляя значения для \(x\), мы получаем:

1. Когда \(x = 4\), \(y = 22 - 4 = 18\).
2. Когда \(x = 5\), \(y = 22 - 5 = 17\).
3. Когда \(x = 6\), \(y = 22 - 6 = 16\).

Таким образом, у нас три возможных варианта для задуманных чисел Сережей: (4, 18), (5, 17), (6, 16).

Теперь нам остается только доказать, что других решений нет. Мы проверили все возможные значения для \(x\) в интервале от 4 до 6 и соответствующие значения для \(y\) при каждом \(x\). Мы также учли все ограничения, что сумма чисел равна 22 и разность чисел находится в интервале от 10 до 14. Поэтому других решений быть не может.

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ помог вам понять задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.