Яким буде значення Sп., площі повної поверхні конуса, якщо твірна конуса нахиляється до площини основи під кутом 60°?

Магический_Тролль_1471

25

60 градусов. Чтобы найти площадь поверхности \(S_п\) конуса, мы можем разделить поверхность на две части: площадь основы конуса и боковую поверхность.

1. Найдем площадь основы конуса. Для этого нам понадобится вписанный в основу треугольник. У нас дана одна сторона треугольника, которая равна 28 см. Зная одну сторону и угол противолежащий этой стороне (60 градусов), мы можем найти площадь треугольника.

Для этого воспользуемся формулой площади треугольника:
\[S_тр = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\alpha)\]
где \(a\) - одна сторона треугольника, \(b\) - другая сторона треугольника, а \(\alpha\) - угол между ними.

Так как мы знаем только одну сторону и угол, а не вторую сторону треугольника, возьмем ее равной \(b = a = 28\) см.

Подставим значения в формулу:
\[S_тр = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 28 \cdot sin(60^\circ)\]
\[S_тр = \frac{1}{2} \cdot 784 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S_тр = 392 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 339.41 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь основы конуса составляет приблизительно 339.41 квадратных сантиметров.

2. Теперь найдем боковую поверхность конуса. Боковая поверхность представляет собой поверхность, образованную, если развернуть боковую поверхность конуса в плоскость.

У нас дано, что твёрдое тіло нахиляється до площини основи под углом 60°. Это означает, что боковая поверхность конуса образует равнобедренный треугольник с углом 60° между равными сторонами.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти с помощью формулы:
\[S_б = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l\]
где \(P\) - периметр основы, а \(l\) - образующая конуса.

Чтобы найти периметр основы, сначала найдем длину равных сторон треугольника. Мы знаем, что угол между ними составляет 60°, поэтому треугольник равнобедренный.

Для нахождения длины стороны треугольника, воспользуемся формулой косинусов:
\[a = b = c = \sqrt{2} \cdot a \cdot cos(\alpha)\],
где \(a\) - одна из сторон треугольника, \(\alpha\) - угол между сторонами.

Подставим значения в формулу:
\[a = b = c = \sqrt{2} \cdot 28 \cdot cos(60^\circ)\]
\[a = b = c = 28 \cdot \frac{1}{2}\]
\[a = b = c = 14 \, \text{см}\]

Теперь найдем образующую конуса. Образующая конуса это высота треугольника, так как треугольник равнобедренный, то понятно, что биссектриса достаточно просто делит одну сторону пополам и находит 7 и получаем треугольник 7-14-14, где башка на 14 как раз достает до вершины другой. Получается, что образующая \(l = 7\) см.

Периметр основы будет равен: \(P = a + b + c = 14 + 14 + 14 = 42\) см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
\[S_б = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 7 = 21 \cdot 7 = 147 \, \text{см}^2\]

3. Итак, мы нашли площадь основы конуса (\(S_тр\) = 339.41 квадратных сантиметров) и площадь боковой поверхности (\(S_б\) = 147 квадратных сантиметров).

Чтобы найти площадь поверхности конуса (\(S_п\)), нужно сложить площадь основы и площадь боковой поверхности:
\[S_п = S_тр + S_б\]
\[S_п = 339.41 + 147\]
\[S_п \approx 486.41 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности конуса при данных условиях составляет приблизительно 486.41 квадратных сантиметров.