Какова площадь полной поверхности конуса с осевым сечением в форме треугольника со стороной 8 см и прилежащим углом

Заяц

46

Хорошо, давайте решим задачу о площади полной поверхности конуса с осевым сечением в форме треугольника.

Для начала, давайте определим, что такое осевое сечение. Осевое сечение - это плоскость, проходящая через ось симметрии конуса. В данном случае, треугольник является осевым сечением.

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам понадобятся две составляющие: площадь основания и площадь боковой поверхности.

Площадь основания конуса можно найти по формуле площади треугольника:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2,\]
где \(a\) - длина стороны треугольника, а \(\sqrt{3}\) - корень квадратный из 3. В данном случае, сторона треугольника равна 8 см, поэтому:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2.\]

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, воспользуемся формулой:
\[S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l,\]
где \(\pi\) - число "пи" (приближенно равно 3.14), \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - образующая конуса.

Так как у нас осевое сечение в форме треугольника, то радиус основания конуса равен радиусу вписанной окружности треугольника. Чтобы найти радиус, воспользуемся формулой:
\[R = \frac{a}{2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)},\]
где \(a\) - длина стороны треугольника, а \(\alpha\) - прилежащий угол.

В нашем случае, \(a = 8 \, \text{см}\) и \(\alpha = 120^\circ\), что равно \(\frac{2\pi}{3}\) радиан. Подставляем значения в формулу:
\[R = \frac{8}{2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)} = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \, \text{см}.\]

Теперь найдем образующую конуса \(l\) с помощью теоремы Пифагора:
\[l = \sqrt{R^2 + h^2},\]
где \(h\) - высота конуса. В данной задаче высоту мы не знаем, но нам нужна только площадь полной поверхности.

Так как треугольник является осевым сечением, оно вписано в окружность. Его высота равна радиусу окружности, то есть \(h = \frac{8\sqrt{3}}{3}\).

Подставим значение высоты в формулу для образующей:
\[l = \sqrt{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{3} + \frac{64}{3}} = \sqrt{\frac{128}{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \, \text{см}.\]

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна:
\[S_{\text{бок}} = 3.14 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{8^2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{64 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{2}}{3} \, \text{см}^2.\]

Теперь найдем площадь полной поверхности, складывая площадь основания и площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 16\sqrt{3} + \frac{64 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{2}}{3} \, \text{см}^2.\]

Округлим ответ до двух десятичных знаков:
\[S_{\text{полн}} \approx 209.76 \, \text{см}^2.\]

Итак, площадь полной поверхности конуса с осевым сечением в форме треугольника составляет примерно 209.76 квадратных сантиметров.