Яким чином можна записати рівняння кола, яке має діаметр з кінцями у точках B(1;5) і D(1;1)?

Snezhok

11

Чтобы записать уравнение окружности, которая имеет диаметр с концами в точках B(1;5) и D(1;1), мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,\]

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Для начала найдем координаты центра окружности, используя координаты концов диаметра. Мы можем заметить, что оба конца диаметра имеют одинаковую x-координату, а y-координаты отличаются. Это говорит о том, что центр окружности будет находиться на вертикальной прямой, проходящей через точку B(1;5) и D(1;1). Поскольку x-координата центра равна 1, мы знаем, что h = 1.

Теперь найдем y-координату центра окружности. Для этого мы можем найти среднее арифметическое значение y-координат точек B и D. Это даст нам координату центра окружности на оси ординат. Выполним вычисления:

\[\frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3.\]

Итак, мы найдем, что k = 3.

Теперь мы можем записать уравнение окружности, используя найденные координаты центра:

\[(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2.\]

Осталось найти радиус окружности r. Мы можем воспользоваться координатами одного из концов диаметра, например, точки B(1;5). Расстояние от центра окружности до точки B будет равно радиусу. Вычислим это расстояние, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (5 - 3)^2}.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[r = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2.\]

Таким образом, мы находим, что радиус окружности r равен 2.

Итак, окончательное уравнение окружности будет выглядеть следующим образом:

\[(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 2^2.\]