Яким найменшим кутом α до горизонталі може розташовуватися драбина, що стоїть на підлозі, притулена до вертикальної

Rodion

45

Для решения этой задачи нам понадобится знание физики и трения. Давайте рассмотрим силы, действующие на драбину.

Когда драбина притулилась к вертикальной стене, на нее действует сила трения, направленная вдоль поверхности драбины в направлении, противоположном силе, которая пытается опрокинуть драбину.

Так как центр веса драбины находится в середине, то вес драбины \(F_g\) направлен вниз и проходит через центр масс драбины. Мы также можем разложить эту силу на две составляющие: \(F_h\), которая перпендикулярна поверхности драбины и направлена в центр масс драбины, и \(F_v\), которая параллельна поверхности драбины и направлена в сторону опрокидывания драбины.

Таким образом, у нас есть следующие силы, действующие на драбину: сила трения \(F_f\) и сила опрокидывания драбины \(F_v\).

Для того чтобы драбина находилась в равновесии, сумма моментов сил, действующих на драбину, должна быть равна нулю.

Момент силы трения равен произведению силы трения \(F_f\) на расстояние от точки опоры драбины до линии приложения силы трения \(d\). Момент силы опрокидывания равен произведению силы опрокидывания \(F_v\) на расстояние от точки опоры драбины до линии приложения силы опрокидывания \(L/2\), где \(L\) - длина драбины.

Учитывая, что моменты сил трения и опрокидывания должны компенсировать друг друга, мы можем составить уравнение моментов:

\[F_f \cdot d = F_v \cdot \frac{L}{2}\]

Сила трения \(F_f\) связана с весом драбины \(F_g\) и коэффициентом трения \(\mu\) следующим образом:

\[F_f = \mu \cdot F_h = \mu \cdot F_g \cdot \cos{\alpha}\]

Сила опрокидывания \(F_v\) связана с весом драбины \(F_g\) следующим образом:

\[F_v = F_g \cdot \sin{\alpha}\]

Выразим \(F_f\) и \(F_v\) через \(F_g\) и подставим в уравнение моментов:

\[\mu \cdot F_g \cdot \cos{\alpha} \cdot d = F_g \cdot \sin{\alpha} \cdot \frac{L}{2}\]

Расчеты показывают, что \(F_g\) сокращается на обеих сторонах уравнения. После этого выражение можно упростить:

\[\mu \cdot \cos{\alpha} \cdot d = \frac{L}{2} \cdot \sin{\alpha}\]

Теперь произведем несколько алгебраических преобразований, чтобы выразить \(\alpha\):

\[\mu \cdot \cos{\alpha} \cdot d = \frac{L}{2} \cdot \sin{\alpha}\]
\[\tan{\alpha} = \frac{2 \cdot \mu \cdot \cos{\alpha} \cdot d}{L}\]
\[\alpha = \arctan{\left(\frac{2 \cdot \mu \cdot \cos{\alpha} \cdot d}{L}\right)}\]

Таким образом, наименьший угол \(\alpha\) будет равен \(\arctan{\left(\frac{2 \cdot \mu \cdot \cos{\alpha} \cdot d}{L}\right)}\). Ответ зависит от значений коэффициента трения \(\mu\), расстояния от точки опоры до линии приложения силы трения \(d\) и длины драбины \(L\). Вы можете подставить значения этих переменных в формулу и численно решить задачу.