Яким є об єм цієї піраміди, яка має основу у вигляді прямокутника з меншою стороною 5 см та кутом між діагоналями

Yasli

46

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Нам дано, что основа пирамиды имеет форму прямоугольника со стороной 5 см и углом между диагоналями 60°.

Шаг 2: Для начала найдем длину диагонали прямоугольника. Используем теорему косинусов для треугольника, образованного стороной прямоугольника и диагональю. Формула для нахождения диагонали:

\[d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta)\]

где \(d\) - длина диагонали, \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника, \(\theta\) - угол между диагоналями. В нашем случае \(a = b = 5\) и \(\theta = 60^\circ\). Подставим значения и решим уравнение:

\[d^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[d^2 = 25 + 25 - 50 \cdot \frac{1}{2}\]

\[d^2 = 50 - 25\]

\[d^2 = 25\]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна 5 см.

Шаг 3: Теперь найдем высоту пирамиды. Высота пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до плоскости основы. В нашем случае, высота пирамиды совпадает с длиной бокового ребра. По условию задачи, длина каждого бокового ребра равна \(h\).

Шаг 4: Поскольку мы знаем длину диагонали прямоугольника и длину каждого бокового ребра, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды. Формула для нахождения высоты:

\[h^2 = d^2 - (\frac{1}{2}a)^2\]

Подставим значения и решим уравнение:

\[h^2 = 5^2 - (\frac{1}{2} \cdot 5)^2\]

\[h^2 = 25 - (\frac{1}{2} \cdot 5)^2\]

\[h^2 = 25 - (\frac{5}{2})^2\]

\[h^2 = 25 - \frac{25}{4}\]

\[h^2 = \frac{100}{4} - \frac{25}{4}\]

\[h^2 = \frac{75}{4}\]

\[h = \frac{\sqrt{75}}{2}\]

\[h = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{2}\]

\[h = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, высота пирамиды равна \(\frac{5\sqrt{3}}{2}\) см.

Шаг 5: Чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

где \(S\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды. Площадь основания прямоугольника равна произведению его сторон \((5 \cdot 5)\).

\[V = \frac{1}{3} \cdot (5 \cdot 5) \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

\[V = \frac{25}{3} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

\[V = \frac{125\sqrt{3}}{6}\]

Таким образом, объем пирамиды равен \(\frac{125\sqrt{3}}{6}\) кубических сантиметров.