Яким є об єм конуса, у якого радіус основи дорівнює довжині проведеної хорди, що віддалена від центра основи на
Яким є об"єм конуса, у якого радіус основи дорівнює довжині проведеної хорди, що віддалена від центра основи на 12 см, а площина, яка пройшла через вершину конуса і цю хорду, утворює кут 60° з площиною основи?
Кирилл_256 43
Щоб розв"язати цю задачу, нам потрібно скористатися формулою для об"єму конуса:\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
де \( V \) - об"єм конуса, \( r \) - радіус основи, \( h \) - висота конуса.
Знайшовши висоту конуса, ми зможемо обчислити його об"єм.
Спочатку знайдемо радіус основи конуса. Задано, що радіус основи дорівнює довжині проведеної хорди, що віддалена від центра основи на 12 см. Але ми не знаємо точну довжину хорди, тому позначимо її як \( x \):
\( r = x \)
Тепер нам потрібно знайти висоту конуса. Задано, що площина, яка пройшла через вершину конуса і цю хорду, утворює кут 60° з площиною основи. Це означає, що утворений розгорнутий кут між променями, що йдуть від вершини конуса до точок, де хорда перетинає коло, дорівнює 120°.
Згадаємо основну властивість кола: кут, що має вершиною у центрі кола і охоплює ту саму дугу, дорівнює удвічі розгорнутому куту, який має вершиною у точці кола і охоплює ту саму дугу.
Оскільки кути розгорнуті, а не прямі, ми можемо використовувати цю властивість:
120° = 2α
де \( α \) - кут між променями, що йдуть від вершини конуса до точок, де хорда перетинає коло.
Оскільки радіус основи конуса \( r \) і довжина хорди \( x \) утворюють прямокутний трикутник, ми можемо скористатися теоремою косинусів для обчислення \( α \):
\[ \cos \alpha = \frac{r}{x} \]
\[ \alpha = \arccos \left( \frac{r}{x} \right) \]
Тепер, використовуючи властивість розгорнутих кутів, знайдемо кут між площиною основи і площиною, яка пройшла через вершину конуса і хорду:
60° = 180° - 2α
\[ 2\alpha = 180° - 60° \]
\[ \alpha = \frac{180° - 60°}{2} \]
Тепер, знаючи \( α \), ми можемо обчислити синус цього кута:
\[ \sin \alpha = \frac{h}{x} \]
\[ h = x \cdot \sin \alpha \]
Знаючи радіус основи конуса \( r \) і висоту \( h \), ми можемо обчислити об"єм \( V \) за допомогою формули:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
Таким чином, ми отримаємо повний розв"язок задачі. Розглянемо кожен крок докладніше для кращого розуміння.