Яким є співвідношення об єму конуса до об єму кулі, якщо основою конуса є прямокутний трикутник, а радіус кулі дорівнює

Konstantin

42

Для решения этой задачи, нам потребуется знать формулы для объёма конуса и объёма сферы.

Объём конуса можно найти с помощью формулы:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]

где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

Объём сферы вычисляется по формуле:

\[V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi r^3,\]

где \(r\) - радиус сферы.

В данной задаче, если радиус конуса (основания) равен радиусу сферы, то мы можем воспользоваться этим равенством для нахождения соотношения объёмов.

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник в качестве основания конуса, у которого боковые стороны равны радиусу основания, то можно сказать, что базисом конуса является четверть круга радиуса \(r\). Таким образом, площадь основания конуса будет равна:

\[S = \frac{1}{4} \pi r^2.\]

Теперь мы можем записать формулы для объёма конуса и объёма сферы:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]
\[V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi r^3.\]

Если радиус конуса равен радиусу сферы, то это означает, что \(r_{\text{конуса}} = r_{\text{сферы}} = r\). Мы можем заменить \(r_{\text{конуса}}\) на \(r_{\text{сферы}}\) в формуле для объёма конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h.\]

Теперь у нас есть формула для объёма конуса, в которой присутствует только одна переменная - высота \(h\). Если мы найдём объём сферы, то сможем выразить высоту конуса через радиус и объём сферы.

Давайте найдём объём сферы:

\[V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi r^3.\]

Теперь мы можем выразить высоту конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]
\[V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi r^3.\]

\[h = \frac{3V_{\text{конуса}}}{\pi r^2}.\]

Таким образом, соотношение объёма конуса к объёму сферы, если радиус кулевидной основы конуса равен радиусу сферы, будет выражаться следующей формулой:

\[\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{сферы}}} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\frac{4}{3} \pi r^3},\]
\[\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{сферы}}} = \frac{1}{4r}.\]

Таким образом, соотношение объёма конуса к объёму сферы равно \(\frac{1}{4r}\).