Яким є відстання від точки С до прямої b, якщо площини альфа та бета є перпендикулярними, а рівносторонній трикутник

Ярмарка

1

Для розуміння цієї задачі, нам необхідно зобразити всі дані на малюнку і визначити необхідні відомості.

1. Почнемо з побудови прямокутної системи координат, де площину альфа представимо горизонтальною площиною, а площину бета - вертикальною площиною.

2. Розмістимо рівносторонній трикутник АВС у площині альфа. Нехай сторона АВ перетинає пряму перетину площин у точці D.

3. Зазначимо, що пряма b, яка паралельна прямій перетину площин, знаходиться в площині бета та віддалена на 4 см від неї.

4. Потрібно визначити відстань від точки С до прямої b. Позначимо цю відстань як h.

5. Зауважимо, що сторона АВ дорівнює 2 кореню з чогось. Допустимо, це відстань від точки D до прямої b, і позначимо цю відстань як x.

6. Застосуємо аналітичну геометрію для дослідження даної проблеми.

7. Зауважимо, що перпендикулярні площини альфа та бета можна представити у вигляді рівнянь \(ax + by + cz + d_1 = 0\) та \(ax + by + cz + d_2 = 0\), де \(a, b, c\) - числа, \(x, y, z\) - змінні, а \(d_1, d_2\) - стали.

8. Оскільки пряма b паралельна прямій перетину площин, значить вектор нормали до прямої перетину площин, який має коефіцієнти \(a, b, c\) у рівнянні площини альфа, буде також вектором нормали до прямої b.

9. Знайдемо вектор нормали до прямої перетину площин, враховуючи, що в куті \(90^\circ\) між площинами, нормальні вектори їхніх рівнянь будуть перпендикулярними.

10. Використовуючи формулу для знаходження векторного добутку двох векторів, отримаємо такий нормальний вектор: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}\).

11. Знаходимо значення коефіцієнтів \(a_1, b_1, c_1\) для рівняння площини альфа.

12. Знаходимо значення коефіцієнтів \(a_2, b_2, c_2\) для рівняння площини бета.

13. Знаходимо вектор нормалі до прямої перетину площини альфа: \(\vec{n}_{\text{альфа}} = \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix}\).

14. Знаходимо вектор нормалі до прямої перетину площини бета: \(\vec{n}_{\text{бета}} = \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}\).

15. Очевидно, що вектор нормалі до прямої b буде рівний векторові нормалі до прямої перетину площини бета.

16. Нехай точка E буде точкою перетину прямої перетину площини бета з прямою b. Поставимо умову, що вектор \(\vec{CE}\) буде колінеарним із вектором нормалі \(\vec{n}_{\text{бета}}\).

17. Запишемо рівняння прямої b у параметричному вигляді: \(b: \vec{r} = \vec{d} + t\vec{v}\), де \(\vec{r}\) - вектора точка на прямій b, \(\vec{d}\) - вектор, який задає початкове положення прямої b, \(t\) - параметр, \(\vec{v}\) - вектор напрямку прямої b.

18. Запишемо векторну форму рівняння прямої CE: \(\vec{CE} = \vec{C} - \vec{E} = t\vec{v}_{\text{бета}}\), де \(\vec{v}_{\text{бета}}\) - вектор напрямку прямої b.

19. Порівняємо коефіцієнти у рівняннях з пунктів 18 та 16: \(\vec{CE} = \begin{pmatrix} x_C - x_E \\ y_C - y_E \\ z_C - z_E \end{pmatrix} = t\vec{v}_{\text{бета}} = \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix}\).

20. Отримаємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими координатами точки E.

21. Застосуємо параметричну формулу векторів, отримаємо наступну систему рівнянь:

\[
\begin{cases}
x_C - x_E = a_2 t \\
y_C - y_E = b_2 t \\
z_C - z_E = c_2 t \\
\end{cases}
\]

22. Для визначення значення параметра \(t\), знайдемо коефіцієнти \(x_C, y_C, z_C\) координат точки С.

23. Розкриваємо систему рівнянь та знаходимо вирази коефіцієнтів \(x_C, y_C, z_C\) через сторону АВ та координати точки С.

24. Підставляємо отримані вирази для коефіцієнтів в систему рівнянь з пункту 21 і знаходимо значення параметра \(t\).

25. Підставляємо значення параметра T, знайдене у попередньому пункті, в рівняння прямої b, а саме, у рівняння \(\vec{r} = \vec{d} + t\vec{v}\).

26. Знаходимо координати точки E.

27. Знаходимо відстань між точками С і Е за формулою відстані між двома точками: \(h = \sqrt{(x_C - x_E)^2 + (y_C - y_E)^2 + (z_C - z_E)^2}\).

28. Підставляємо отримані значення координат точки С та точки E в формулу з попереднього пункту і обчислюємо відстань h.

29. Отримане значення відстані h буде відповіддю на задачу.

Будь ласка, безпосередньо обчисліть отримане значення відстані h та наведіть відповідь на задачу.