Яким значенням дорівнює довжина апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона її основи рівна 16 см, а висота

Весенний_Лес_8227

48

Щоб знайти довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, спочатку необхідно уявити собі цю піраміду. У даному випадку, це правильний трикутник, у якого сторона основи дорівнює 16 см.

До рішення можна підійти декількома шляхами. Розглянемо один із них.

Коли проведено апофему в правильному трикутнику, вона ділиться на дві рівні частини двома взаємно перпендикулярними бісектрисами кута. Одна з цих бісектрис проходить через середину однієї з сторін трикутника, а інша - через вершину трикутника і середину протилежної сторони.

Назвемо сторону трикутника a і апофему f. До нас зараз дана лише сторона a, але нам необхідно знайти апофему f.

Перше, що нам треба знайти, це величину загальної висоти h правильного трикутника. Враховуючи, що це правильний трикутник, можна застосувати теорему Піфагора, щоб знайти h:

\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\]

Тепер, якщо позначити точку перетину апофеми і бісектриси через середину сторони як b, а точку перетину апофеми і бісектриси через вершину і середину протилежної сторони як c, ми отримаємо трикутник правильної форми, в якому b розділена навпіл. Це значить, що бісектриса як і середина сторони ділить апофему пополам.

Тепер можемо записати рівняння:

\[f = \frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a\]

Тепер, коли ми знаємо сторону основи a, можемо обчислити значення апофеми f:

\[f = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3}\]

Отже, довжина апофеми правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(4\sqrt{3}\) см.