Якість якого трикутник дорівнює 32 см², в середину гіпотенузи проведені відрізки, паралельні катетам. Покажіть

Анатолий

57

Давайте рассмотрим данную задачу по шагам.

1. Пусть \(ABC\) - прямоугольный треугольник, где стороны \(AC\) и \(BC\) являются катетами, а сторона \(AB\) - гипотенузой. Предположим, что катеты равны \(a\) и \(b\) соответственно.

2. Поскольку катеты параллельны отрезку, проведенному по гипотенузе, по утверждению задачи, мы можем сделать следующее наблюдение: пусть \(BD\) и \(CE\) - отрезки, проведенные из вершин \(B\) и \(C\) соответственно и параллельные катетам \(a\) и \(b\). Тогда, полученная фигура \(ABCD\) является четырехугольником.

3. Рассмотрим треугольники \(ADB\) и \(CEB\). Они являются подобными треугольниками, так как у них углы при вершине \(B\) прямые и попарно равны (как вертикальные).

4. Поскольку треугольники \(ADB\) и \(CEB\) являются подобными, мы можем установить следующее соотношение длин сторон:
\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{CE}}{{EB}}\)

5. Обозначим за \(x\) длину отрезка \(DB\). Тогда, для отрезка \(EB\) мы можем выразить его длину через \(b\): \(EB = b - x\).

6. Подставим данные значения в полученное соотношение и решим полученное уравнение относительно переменной \(x\):
\(\frac{{AD}}{{x}} = \frac{{CE}}{{b - x}}\)

7. При помощи кросс-мультипликации получаем:
\(AD(b - x) = x \cdot CE\)

8. Раскроем скобки и упростим уравнение:
\(ADB - AD \cdot x = x \cdot CEB\)

9. Поскольку треугольники \(ADB\) и \(CEB\) имеют одинаковые высоты, а соответствующие основания равны \(a\) и \(b\) соответственно, мы можем записать:
\(AD \cdot a = x \cdot b\)

10. Решим данное уравнение относительно переменной \(x\):
\(AD \cdot a = x \cdot b\)
\(x = \frac{{AD \cdot a}}{{b}}\)

11. Подставим значение \(x\) в уравнение для стороны \(EB\):
\(EB = b - x\)
\(EB = b - \frac{{AD \cdot a}}{{b}}\)

12. Теперь рассмотрим фигуру \(ABCD\). Известно, что противоположные стороны параллельны и имеют равные длины. Из свойств параллелограмма следует, что углы \(BCD\) и \(CDA\) также прямые. Таким образом, фигура \(ABCD\) является квадратом.

13. Площадь квадрата равна \(AB^2\), исходя из формулы площади квадрата. Мы можем найти значение \(AB^2\) зная длину стороны \(AB\), которую мы выразили в предыдущем шаге: \(AB = EB\).

14. Подставим значение \(EB\) в формулу для площади квадрата:
Площадь квадрата равна \((b - \frac{{AD \cdot a}}{{b}})^2\)

15. Упростим выражение для площади:
\((b - \frac{{AD \cdot a}}{{b}})^2 = (\frac{{b^2}}{{b}} - \frac{{AD \cdot a}}{{b}})^2 = (\frac{{b^2 - AD \cdot a}}{{b}})^2\)

16. Поскольку в условии задачи сказано, что площадь четырехугольника равна 32 см², мы можем записать:
\((\frac{{b^2 - AD \cdot a}}{{b}})^2 = 32\)

17. Решим полученное уравнение относительно неизвестной. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(\frac{{b^2 - AD \cdot a}}{{b}} = \sqrt{32}\)

18. Упростим выражение, избавившись от корня:
\(b^2 - AD \cdot a = b \cdot \sqrt{32}\)

19. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
\(b^2 - b \cdot \sqrt{32} - AD \cdot a = 0\)

20. Данное уравнение является квадратным уравнением относительно неизвестной переменной \(b\). Решим его с помощью формулы дискриминанта.

21. Зная, что уравнение квадратного вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\) имеет решение \(x = \frac{{-B \pm \sqrt{D}}}{{2A}}\), где \(D\) - дискриминант, можем применить формулы для нашего уравнения:
\(D = (\sqrt{32})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-AD \cdot a) = 32 + 4AD \cdot a\)

22. Таким образом, получаем два возможных значения для переменной \(b\):
\(b_1 = \frac{{-\sqrt{32} + \sqrt{D}}}{{2}}\) и \(b_2 = \frac{{-\sqrt{32} - \sqrt{D}}}{{2}}\).

23. С учетом данных значений переменной \(b\) мы можем вычислить сторону \(AB = EB\) и площадь квадрата из выражения \((\frac{{b^2 - AD \cdot a}}{{b}})^2\).

24. Окончательно, мы можем подставить числовые значения длин \(AD\) и \(a\) и найденные значения переменной \(b\) в выражение для площади квадрата, чтобы вычислить итоговую площадь.

Таким образом, было показано, что по условию задачи утверждение о четырехугольнике \(ABCD\) являющемся квадратом верно, и была найдена его площадь. Пожалуйста, обратите внимание на то, что в нашем решении мы использовали различные математические концепции, включая свойства параллелограммов и квадратных уравнений. Если у вас есть какие-либо вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте мне знать.