а) Докажите, что А1, М1 и В1 коллинеарны. б) Найдите длину ВВ1, если АА1 = 12 и ММ1

Magiya_Reki_2475

40

Давайте начнем с выполнения задачи (а), где нам нужно доказать, что точки А1, М1 и В1 коллинеарны.

Для начала, давайте разберемся с тем, что означает коллинеарность точек. Коллинеарные точки - это такие точки, которые лежат на одной прямой.

У нас есть три точки: А1, М1 и В1. Чтобы доказать, что они коллинеарны, мы можем использовать определение линейной зависимости векторов.

Пусть:
\(\overrightarrow{AA1}\) - вектор, направленный от точки А к точке А1.
\(\overrightarrow{AM1}\) - вектор, направленный от точки А к точке М1.
\(\overrightarrow{AV1}\) - вектор, направленный от точки А к точке В1.

Теперь, если векторы \(\overrightarrow{AA1}\), \(\overrightarrow{AM1}\) и \(\overrightarrow{AV1}\) линейно зависимы, то это будет означать, что точки А1, М1 и В1 лежат на одной прямой и, следовательно, они коллинеарны.

Чтобы доказать линейную зависимость этих векторов, давайте представим их в виде координат:

\(\overrightarrow{AA1} = (x_1, y_1)\)
\(\overrightarrow{AM1} = (x_2, y_2)\)
\(\overrightarrow{AV1} = (x_3, y_3)\)

Теперь, чтобы проверить линейную зависимость, мы можем использовать определитель матрицы:

\[
\begin{vmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\]

Если этот определитель равен нулю, то это будет означать, что векторы линейно зависимы и, следовательно, точки А1, М1 и В1 коллинеарны.

Перейдем к части (б) задачи, где нам нужно найти длину ВВ1, если АА1 = 12 и ММ1 = 10.

Давайте начнем с рисунка. Представьте координатную плоскость с точками А, А1, М, М1, В и В1.

Длину ВВ1 мы можем вычислить, используя теорему Пифагора. Давайте обозначим длину ВВ1 как d.

Так как ВВ1 - это гипотенуза прямоугольного треугольника, мы можем записать следующее уравнение:

\(d = \sqrt{(\text{длина }\overline{AM})^2 + (\text{длина }\overline{MM1})^2}\)

В данном случае, длина \(\overline{AM}\) равна длине \(\overline{AA1}\), которая равна 12. Длина \(\overline{MM1}\) равна 10.

Подставим значения в наше уравнение:

\(d = \sqrt{12^2 + 10^2}\)

Выполняя вычисления, получим:

\(d = \sqrt{144 + 100}\)
\(d = \sqrt{244}\)

Поэтому, длина ВВ1 равна \(\sqrt{244}\).

Надеюсь, эти объяснения помогли вам понять как решить задачу и понять концепцию коллинеарности и вычисления длины. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!