Який імпульс має тіло масою 2 кг через 2 секунди після початку руху, якщо його переміщення задано рівнянням Sx=2t-t2?

Shura_5087

16

Щоб знайти імпульс тіла, нам потрібно знати його масу і швидкість. В даній задачі масу тіла ми вже знаємо - 2 кг. Але що таке переміщення, яке задане рівнянням Sx=2t-t2? Це функція, яка описує залежність переміщення від часу.

Тепер давайте розберемося з рівнянням. Sx є переміщенням, t є часом. Розкладемо рівняння за формулою руху рівноприскорений руху відносно вісі Ox, яке звучить наступним чином:

\[ S_x = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 \]

тут:
Sx - переміщення по осі Ох,
a - прискорення,
t - час,
\( v_0 \) - початкова швидкість,
\( x_0 \) - початкова координата.

У нашому випадку у нас немає початкової швидкості або початкової координати, тобто \( v_0 = 0 \) і \( x_0 = 0 \).

Отже, наше рівняння зводиться до:

\[ S_x = \dfrac{1}{2}at^2 \]

За відомим рівнянням руху \( S = vt \), де v - швидкість, можна отримати rівняння швидкості:

\[ v = \dfrac{dS}{dt} \]

Диференціюємо наше рівняння:

\[ v = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2}at^2 \right) \]

\[ v = at \]

Таким чином, швидкість тіла відносно вісі Ox дорівнює \( at \).

Тепер ми можемо розрахувати швидкість тіла через 2 секунди після початку руху, підставивши \( t = 2 \) у формулу швидкості:

\[ v = a \cdot 2 \]

Тут нам бракує даних про прискорення. Однак, ми можемо розрахувати прискорення, використовуючи рівняння руху.

Знаючи наше рівняння для переміщення, можна знайти швидкість за формулою \( v = \dfrac{dS}{dt} \). Диференціюємо рівняння за часом:

\[ v = \dfrac{d}{dt} \left( 2t - t^2 \right) \]

\[ v = 2 - 2t \]

Отримали формулу для швидкості тіла відносно вісі Ox: \( v = 2 - 2t \). Ми отримали прискорення тіла як похідну від швидкості, тобто \( a = \dfrac{dv}{dt} \):

\[ a = \dfrac{d}{dt}(2 - 2t) \]

\[ a = -2 \]

Тепер ми знаємо прискорення \( a = -2 \) і можемо знайти швидкість через 2 секунди:

\[ v = a \cdot 2 \]

\[ v = -2 \cdot 2 \]

\[ v = -4 \, \text{м/с} \]

Таким чином, швидкість тіла через 2 секунди після початку руху дорівнює -4 м/с.

Нарешті, ми можемо знайти імпульс тіла, використовуючи формулу \( p = mv \), де p - імпульс, m - маса тіла, v - швидкість:

\[ p = 2 \cdot (-4) \]

\[ p = -8 \, \text{кг м/с} \]

Тому імпульс тіла становить -8 кг м/с.