Який є кут між площинами (SBC) і (ABC), якщо площа основи піраміди дорівнює, а основою піраміди є гострокутний
Який є кут між площинами (SBC) і (ABC), якщо площа основи піраміди дорівнює, а основою піраміди є гострокутний рівнобедрений трикутник ABC такий, що AB=BC=18, грані SAB і SAC перпендикулярні до площини основи піраміди, а ребро SB нахилене до неї під кутом 30°?
Sumasshedshiy_Kot 66
Для розв"язання цієї задачі спочатку звернемо увагу на промінь SB, який є нахиленим до площини основи піраміди під кутом 30°. Ми можемо розглядати цю піраміду як точку в перетині променя SB і площини ABCD.Оскільки AB=BC=18, то трикутник ABC є рівнобедреним трикутником. Отже, кути BAC і BCA дорівнюють один одному. Позначимо цей кут як x.
Також зазначено, що грані SAB і SAC перпендикулярні до площини основи піраміди. Оскільки основа піраміди є рівнобедреним трикутником ABC, це означає, що кути SAB і SAC також дорівнюють x.
Тепер звернемо увагу на площину (SBC). Оскільки SB нахилений під кутом 30° до площини основи піраміди, ми можемо скласти прямокутний трикутник SBC, де гіпотенузою є ребро SB, а однією зі сторін є грань SAB або SAC. Значення кута SBC буде таким самим, як і кут між гранями SAB і SAC.
Отже, кут між площинами (SBC) і (ABC) дорівнює куту BAC, який ми позначили як x.
Отримали, що кут між площинами (SBC) і (ABC) дорівнює x.
Тепер можемо перейти до обчислення значення кута x. Згідно до вказаних умов, ми знаємо, що трікутник ABC є рівнобедреним зі стороною AB=BC=18. Використовуючи властивості рівнобедреного трикутника, можна розрахувати значення кута x за допомогою тригонометричних функцій.
Високою бічною стороною рівнобедреного трикутника є медіана AM, яка є висотою у цьому трикутнику. Медіана AD ділить кут BAC навпіл, отже, кути BAD і CAD дорівнюють x/2.
Оскільки ADC є прямокутним трикутником (AD - медіана), ми можемо використовувати теорему Піфагора:
\[AC^2 = AD^2 + DC^2\]
Оскільки BD є медіаною, ми можемо також записати:
\[BD^2 = BM^2 + DM^2\]
Але BM = DC, тому:
\[BD^2 = DC^2 + DM^2\]
Зауважимо, що DM дорівнює половині сторони BC/2, тобто DM = 9.
Підставляючи ці значення в останній вираз, отримаємо:
\[BD^2 = DC^2 + 9^2\]
\[(18/2)^2 = DC^2 + 9^2\]
\[DC^2 = (18/2)^2 - 9^2\]
\[DC^2 = 81\]
DC = 9
Таким чином, ми знаємо, що DC = 9 і AC = 18.
Далі, використовуючи теорему синусів для трикутника ADC, ми можемо отримати вираз для косинуса кута x/2:
\[\cos(x/2) = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}\]
Тепер застосуємо обернену функцію до косинуса:
\[x/2 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\]
\[x/2 = \frac{\pi}{3}\]
Тобто, кут x дорівнює 2 * (x/2) = 2 * (\pi/3) = \(\frac{2\pi}{3}\).
Отже, кут між площинами (SBC) і (ABC) дорівнює \(\frac{2\pi}{3}\).