Який є кут між площинами (SBC) і (ABC), якщо площа основи піраміди дорівнює, а основою піраміди є гострокутний

  • 17
Який є кут між площинами (SBC) і (ABC), якщо площа основи піраміди дорівнює, а основою піраміди є гострокутний рівнобедрений трикутник ABC такий, що AB=BC=18, грані SAB і SAC перпендикулярні до площини основи піраміди, а ребро SB нахилене до неї під кутом 30°?
Sumasshedshiy_Kot
66
Для розв"язання цієї задачі спочатку звернемо увагу на промінь SB, який є нахиленим до площини основи піраміди під кутом 30°. Ми можемо розглядати цю піраміду як точку в перетині променя SB і площини ABCD.

Оскільки AB=BC=18, то трикутник ABC є рівнобедреним трикутником. Отже, кути BAC і BCA дорівнюють один одному. Позначимо цей кут як x.

Також зазначено, що грані SAB і SAC перпендикулярні до площини основи піраміди. Оскільки основа піраміди є рівнобедреним трикутником ABC, це означає, що кути SAB і SAC також дорівнюють x.

Тепер звернемо увагу на площину (SBC). Оскільки SB нахилений під кутом 30° до площини основи піраміди, ми можемо скласти прямокутний трикутник SBC, де гіпотенузою є ребро SB, а однією зі сторін є грань SAB або SAC. Значення кута SBC буде таким самим, як і кут між гранями SAB і SAC.

Отже, кут між площинами (SBC) і (ABC) дорівнює куту BAC, який ми позначили як x.

Отримали, що кут між площинами (SBC) і (ABC) дорівнює x.

Тепер можемо перейти до обчислення значення кута x. Згідно до вказаних умов, ми знаємо, що трікутник ABC є рівнобедреним зі стороною AB=BC=18. Використовуючи властивості рівнобедреного трикутника, можна розрахувати значення кута x за допомогою тригонометричних функцій.

Високою бічною стороною рівнобедреного трикутника є медіана AM, яка є висотою у цьому трикутнику. Медіана AD ділить кут BAC навпіл, отже, кути BAD і CAD дорівнюють x/2.

Оскільки ADC є прямокутним трикутником (AD - медіана), ми можемо використовувати теорему Піфагора:

\[AC^2 = AD^2 + DC^2\]

Оскільки BD є медіаною, ми можемо також записати:

\[BD^2 = BM^2 + DM^2\]

Але BM = DC, тому:

\[BD^2 = DC^2 + DM^2\]

Зауважимо, що DM дорівнює половині сторони BC/2, тобто DM = 9.

Підставляючи ці значення в останній вираз, отримаємо:

\[BD^2 = DC^2 + 9^2\]

\[(18/2)^2 = DC^2 + 9^2\]

\[DC^2 = (18/2)^2 - 9^2\]

\[DC^2 = 81\]

DC = 9

Таким чином, ми знаємо, що DC = 9 і AC = 18.

Далі, використовуючи теорему синусів для трикутника ADC, ми можемо отримати вираз для косинуса кута x/2:

\[\cos(x/2) = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}\]

Тепер застосуємо обернену функцію до косинуса:

\[x/2 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\]

\[x/2 = \frac{\pi}{3}\]

Тобто, кут x дорівнює 2 * (x/2) = 2 * (\pi/3) = \(\frac{2\pi}{3}\).

Отже, кут між площинами (SBC) і (ABC) дорівнює \(\frac{2\pi}{3}\).