Який об єм піраміди, якщо площа прямокутника, що є основою піраміди, становить 9, а бічні грані перпендикулярні
Який об"єм піраміди, якщо площа прямокутника, що є основою піраміди, становить 9, а бічні грані перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутами 30 і 60 градусів?
Игорь 18
Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы для площади прямоугольника и объема пирамиды.Дано:
Площадь прямоугольника = 9
Углы между боковыми гранями и плоскостью основы = 30° и 60°
1. Площадь прямоугольника:
Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина - b.
Тогда согласно условию задачи, a * b = 9.
2. Найдем длину и ширину отдельно:
Из условия задачи становится понятно, что одна сторона пирамиды равна a, а другая b. Давайте найдем их через тригонометрические соотношения.
Угол между одной из боковых граней и плоскостью основы равен 30°. Это означает, что противолежащая этому углу сторона равна
Угол между другой боковой гранью и плоскостью основы равен 60°. Соответственно, противолежащая этому углу сторона равна
3. Выразим ширину через a и найдем площадь:
Теперь мы можем выразить ширину прямоугольника через a и посчитать его площадь.
Площадь прямоугольника равна
Подставим значения
Так как площадь прямоугольника равна 9, получаем:
4. Решим уравнение и найдем значение a:
Для этого разделим обе части уравнения на 3:
Затем извлечем квадратный корень из обеих частей:
5. Найдем значения b1 и b2:
Подставим найденное значение a в формулы для
6. Найдем высоту пирамиды:
Высота пирамиды равна длине отрезка, соединяющего вершину пирамиды с плоскостью основы. Найдем эту высоту.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному боковой стороной
Высота пирамиды в квадрате равна сумме квадратов
Подставим значения
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
7. Найдем объем пирамиды:
Объем пирамиды можно выразить через площадь основания и высоту:
Подставим значения S и h:
Таким образом, объем пирамиды равен