Який об єм піраміди, якщо площа прямокутника, що є основою піраміди, становить 9, а бічні грані перпендикулярні

  • 45
Який об"єм піраміди, якщо площа прямокутника, що є основою піраміди, становить 9, а бічні грані перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутами 30 і 60 градусів?
Игорь
18
Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы для площади прямоугольника и объема пирамиды.

Дано:
Площадь прямоугольника = 9
Углы между боковыми гранями и плоскостью основы = 30° и 60°

1. Площадь прямоугольника:
Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина - b.
Тогда согласно условию задачи, a * b = 9.

2. Найдем длину и ширину отдельно:
Из условия задачи становится понятно, что одна сторона пирамиды равна a, а другая b. Давайте найдем их через тригонометрические соотношения.
Угол между одной из боковых граней и плоскостью основы равен 30°. Это означает, что противолежащая этому углу сторона равна b1=asin(30°).
Угол между другой боковой гранью и плоскостью основы равен 60°. Соответственно, противолежащая этому углу сторона равна b2=asin(60°).

3. Выразим ширину через a и найдем площадь:
Теперь мы можем выразить ширину прямоугольника через a и посчитать его площадь.
Площадь прямоугольника равна S=ab=a(b1+b2).
Подставим значения b1 и b2: S=a(asin(30°)+asin(60°))=3a2.
Так как площадь прямоугольника равна 9, получаем: 3a2=9.

4. Решим уравнение и найдем значение a:
Для этого разделим обе части уравнения на 3: a2=3.
Затем извлечем квадратный корень из обеих частей: a=3.

5. Найдем значения b1 и b2:
Подставим найденное значение a в формулы для b1 и b2:
b1=3sin(30°)=30.5=312=32.
b2=3sin(60°)=332=32.

6. Найдем высоту пирамиды:
Высота пирамиды равна длине отрезка, соединяющего вершину пирамиды с плоскостью основы. Найдем эту высоту.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному боковой стороной b1, b2 и высотой пирамиды.
Высота пирамиды в квадрате равна сумме квадратов b1 и b2: h2=b12+b22.
Подставим значения b1 и b2: h2=(32)2+(32)2=34+94=124=3.
Извлечем квадратный корень из обеих частей: h=3.

7. Найдем объем пирамиды:
Объем пирамиды можно выразить через площадь основания и высоту: V=13Sh.
Подставим значения S и h: V=1393=33.

Таким образом, объем пирамиды равен 33.