Який об єм піраміди, якщо площа прямокутника, що є основою піраміди, становить 9, а бічні грані перпендикулярні

Игорь

18

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы для площади прямоугольника и объема пирамиды.

Дано:
Площадь прямоугольника = 9
Углы между боковыми гранями и плоскостью основы = 30° и 60°

1. Площадь прямоугольника:
Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина - b.
Тогда согласно условию задачи, a * b = 9.

2. Найдем длину и ширину отдельно:
Из условия задачи становится понятно, что одна сторона пирамиды равна a, а другая b. Давайте найдем их через тригонометрические соотношения.
Угол между одной из боковых граней и плоскостью основы равен 30°. Это означает, что противолежащая этому углу сторона равна \(b_1 = a \cdot \sin(30°)\).
Угол между другой боковой гранью и плоскостью основы равен 60°. Соответственно, противолежащая этому углу сторона равна \(b_2 = a \cdot \sin(60°)\).

3. Выразим ширину через a и найдем площадь:
Теперь мы можем выразить ширину прямоугольника через a и посчитать его площадь.
Площадь прямоугольника равна \(S = a \cdot b = a \cdot (b_1 + b_2)\).
Подставим значения \(b_1\) и \(b_2\): \(S = a \cdot (a \cdot \sin(30°) + a \cdot \sin(60°)) = 3a^2\).
Так как площадь прямоугольника равна 9, получаем: \(3a^2 = 9\).

4. Решим уравнение и найдем значение a:
Для этого разделим обе части уравнения на 3: \(a^2 = 3\).
Затем извлечем квадратный корень из обеих частей: \(a = \sqrt{3}\).

5. Найдем значения b1 и b2:
Подставим найденное значение a в формулы для \(b_1\) и \(b_2\):
\(b_1 = \sqrt{3} \cdot \sin(30°) = \sqrt{3} \cdot 0.5 = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(b_2 = \sqrt{3} \cdot \sin(60°) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\).

6. Найдем высоту пирамиды:
Высота пирамиды равна длине отрезка, соединяющего вершину пирамиды с плоскостью основы. Найдем эту высоту.
Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному боковой стороной \(b_1\), \(b_2\) и высотой пирамиды.
Высота пирамиды в квадрате равна сумме квадратов \(b_1\) и \(b_2\): \(h^2 = b_1^2 + b_2^2\).
Подставим значения \(b_1\) и \(b_2\): \(h^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} = 3\).
Извлечем квадратный корень из обеих частей: \(h = \sqrt{3}\).

7. Найдем объем пирамиды:
Объем пирамиды можно выразить через площадь основания и высоту: \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\).
Подставим значения S и h: \(V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3}\).

Таким образом, объем пирамиды равен \(3 \cdot \sqrt{3}\).