Каков периметр равнобедренной трапеции ABCD, если ее длинное основание AD равно 20 см, короткое основание BC и боковые

Stepan

51

Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции ABCD с длинным основанием AD равным 20 см, коротким основанием BC и боковыми сторонами, и углом равным 55°, мы можем использовать свойства равнобедренной трапеции.

1. Начнем с того, что задан острый угол трапеции ABCD, который равен 55°. Равнобедренная трапеция имеет две пары равных углов, поэтому у нас есть два равных угла имеют меру $m\mathrm{\angle }ABC={55}^{\circ }$ и $m\mathrm{\angle }BCD={55}^{\circ }$.

2. Так как сумма всех углов в трапеции равна 360°, мы можем выразить меру остального угла, $m\mathrm{\angle }ADC$, используя следующее равенство: $m\mathrm{\angle }ADC={360}^{\circ }-{55}^{\circ }-{55}^{\circ }$.

3. Используя вышеупомянутые углы, мы можем заключить, что $m\mathrm{\angle }ADC={250}^{\circ }$.

4. Поскольку ABCD - равнобедренная трапеция, то стороны AB и CD равны друг другу, а стороны BC и AD также равны друг другу. Давайте обозначим каждую из этих сторон за x (см).

5. Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину одной из боковых сторон.

В треугольнике ABC с углами 55°, 55° и x, где сторона AC равна x (так как ABCD - равнобедренная трапеция), мы можем применить теорему косинусов:

$$x^2=x^2+x^2-2x\cdot x\cdot \cos ({55}^{\circ })$$

Упрощая это уравнение, мы получим: $$x^2=2x^2-2x^2\cdot \cos ({55}^{\circ })$$

Отсюда следует: $$x^2=2x^2(1-\cos ({55}^{\circ }))$$

Далее мы можем решить это уравнение для x.

6. Найдя значение x, мы сможем найти периметр равнобедренной трапеции, складывая все стороны:

$$P=20+x+x+x=20+3x$$

Итак, для того чтобы найти периметр равнобедренной трапеции ABCD, мы должны найти значение x, используя уравнение из шага 5, а затем подставить найденное значение x в формулу для периметра (шаг 6).

Отвечая на задачу, периметр равнобедренной трапеции ABCD будет равен 20 + 3x, где x - решение уравнения в шаге 5.