Каков периметр равнобедренной трапеции ABCD, если ее длинное основание AD равно 20 см, короткое основание BC и боковые

Stepan

51

Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции ABCD с длинным основанием AD равным 20 см, коротким основанием BC и боковыми сторонами, и углом равным 55°, мы можем использовать свойства равнобедренной трапеции.

1. Начнем с того, что задан острый угол трапеции ABCD, который равен 55°. Равнобедренная трапеция имеет две пары равных углов, поэтому у нас есть два равных угла имеют меру \( m \angle ABC = 55^\circ \) и \( m \angle BCD = 55^\circ \).

2. Так как сумма всех углов в трапеции равна 360°, мы можем выразить меру остального угла, \( m \angle ADC \), используя следующее равенство: \( m \angle ADC = 360^\circ - 55^\circ - 55^\circ \).

3. Используя вышеупомянутые углы, мы можем заключить, что \( m \angle ADC = 250^\circ \).

4. Поскольку ABCD - равнобедренная трапеция, то стороны AB и CD равны друг другу, а стороны BC и AD также равны друг другу. Давайте обозначим каждую из этих сторон за x (см).

5. Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину одной из боковых сторон.

В треугольнике ABC с углами 55°, 55° и x, где сторона AC равна x (так как ABCD - равнобедренная трапеция), мы можем применить теорему косинусов:

\[x^2 = x^2 + x^2 - 2x \cdot x \cdot \cos(55^\circ)\]

Упрощая это уравнение, мы получим: \[x^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \cos(55^\circ)\]

Отсюда следует: \[x^2 = 2x^2(1 - \cos(55^\circ))\]

Далее мы можем решить это уравнение для x.

6. Найдя значение x, мы сможем найти периметр равнобедренной трапеции, складывая все стороны:

\[P = 20 + x + x + x = 20 + 3x\]

Итак, для того чтобы найти периметр равнобедренной трапеции ABCD, мы должны найти значение x, используя уравнение из шага 5, а затем подставить найденное значение x в формулу для периметра (шаг 6).

Отвечая на задачу, периметр равнобедренной трапеции ABCD будет равен 20 + 3x, где x - решение уравнения в шаге 5.