Який об’єм прямого паралелепіпеда, у якого сторони основи мають довжини 2√2 см і 5 см та утворюють кут 45̊, а менша

Matvey_6338

36

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем длину меньшей диагонали параллелепипеда.
Меньшая диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные вершины параллелепипеда, которые не лежат на одной из его граней.

Зная длины сторон основы и угол между ними, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину меньшей диагонали.

Стороны основы имеют длины 2√2 см и 5 см. Исходя из угла 45̊, мы видим, что основа прямоугольная, а значит, можно применить теорему Пифагора.
По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов (сторон основы) равна квадрату гипотенузы (меньшей диагонали).
\[a^2 + b^2 = c^2\]
\[(2\sqrt{2})^2 + 5^2 = c^2\]
\[8 + 25 = c^2\]
\[33 = c^2\]
\[c = \sqrt{33}\]

Таким образом, длина меньшей диагонали равна \(\sqrt{33}\) см.

Шаг 2: Найдем объем прямого параллелепипеда.
Объем параллелепипеда может быть найден по формуле:
\[V = S \cdot h\]
где \(S\) - площадь основы, \(h\) - высота параллелепипеда.

Площадь основы вычисляется как произведение длин сторон основы, то есть:
\[S = a \cdot b\]
где \(a\) и \(b\) - длины сторон основы параллелепипеда.

В нашей задаче, мы знаем, что \(a = 2\sqrt{2}\) см, \(b = 5\) см и \(h\) – это длина меньшей диагонали, которую мы уже нашли.

Подставим данные в формулу для нахождения объема:
\[V = (2\sqrt{2} \cdot 5) \cdot \sqrt{33}\]
\[V = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{33}\]
\[V = 10\sqrt{2 \cdot 33}\]
\[V = 10\sqrt{66}\]

Таким образом, объем прямого параллелепипеда составляет \(10\sqrt{66}\) кубических сантиметров.