Який порядковий номер n відповідає n-му члену геометричної прогресії (bn), де b1=2, q=5 і bn=250?

Весенний_Лес

13

Для решения этой задачи, нам нужно найти порядковый номер \(n\) для которого \(n\)-й член геометрической прогрессии равен 250. Зная первый член прогрессии \(b_1 = 2\) и знаменатель \(q = 5\), мы можем использовать формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии, которая выглядит следующим образом:

\[ b_n = b_1 \times q^{n-1} \]

Подставив известные значения, имеем:

\[ 250 = 2 \times 5^{n-1} \]

Теперь нам нужно решить это уравнение и найти значение \(n\). Начнем с логарифмирования обеих сторон уравнения для избавления от показателя степени:

\[ \log(250) = \log(2 \times 5^{n-1}) \]

Используя свойства логарифмов, мы можем переписать это уравнение следующим образом:

\[ \log(250) = \log(2) + \log(5^{n-1}) \]

Теперь мы можем использовать свойство логарифма для извлечения показателя степени:

\[ \log(250) = \log(2) + (n-1) \times \log(5) \]

Вспомнив, что \(\log(2)\) и \(\log(5)\) являются известными константами, мы можем записать это как:

\[ \log(250) = C + (n-1) \times D \]

где \(C = \log(2)\) и \(D = \log(5)\).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(n\):

\[ n-1 = \frac{\log(250) - C}{D} \]

\[ n = \frac{\log(250) - C}{D} + 1 \]

Подставляя значения \(C\) и \(D\), мы можем вычислить \(n\):

\[ n = \frac{\log(250) - \log(2)}{\log(5)} + 1 \]

Теперь давайте посчитаем значение \(n\):

\[ n = \frac{\log(250) - \log(2)}{\log(5)} + 1 \approx 4.357 \]

Округляем полученное значение \(n\) до ближайшего целого числа и получаем:

\[ n \approx 4 \]

Таким образом, четвёртый член \(b_4\) геометрической прогрессии будет равен 250.