Який радіус тонкого алюмінієвого кільця, яке важить 0,07 Н, якщо для від єднання кільця від мильного розчину потрібно

Kosmos

19

Дано:
Маса кільця \( m = 0.07 \, \text{Н} \)
Зусилля для від"єднання кільця \( F = 0.2 \, \text{Н} \)
Поверхневий натяг розчину \( \gamma = 0.04 \, \text{Н/м} \)

Для розв"язку цієї задачі використаємо формулу визначення радіуса кільця за його масою, зусиллям та поверхневим натягом розчину.

Уявімо, що кільце рівномірно занурене у мильний розчин. При виникненні зусилля \( F \), кільце починає деформуватися і від"єднуватися від розчину.

За відомою формулою поверхневого натягу \( \gamma = \frac{F}{l} \), де \( l \) - довжина дуги ґратки кільця, можна виразити довжину дуги:

\[ l = \frac{F}{\gamma} \]

Так як розповсюдження дуги \( l \) на одиницю 360°, то можна виразити довжину дуги у відношенні до повного кола:

\[ l = \frac{2\pi r}{360°} \cdot \alpha \]

де \( r \) - радіус кільця, а \( \alpha \) - кут, під яким кільце повертається.

Оскільки \( \alpha = 360° \), то

\[ l = 2\pi r \]

Підставивши значення для \( l \):

\[ \frac{F}{\gamma} = 2\pi r \]

Знаючи масу кільця \( m \) і використовуючи формулу маси \( m = \rho \cdot V \), де \( \rho \) - щільність алюмінію, можемо записати:

\[ m = \rho \cdot V = \rho \cdot \pi r^2 h \]

де \( h \) - висота кільця.

Тепер можемо виразити висоту кільця \( h \):

\[ h = \frac{m}{\rho \cdot \pi r^2} \]

Експериментально встановлено, що висота кільця, при якій воно радіальной деформується, дорівнює півдіаметру \( d \) цього кільця:

\[ h = \frac{d}{2} = r \]

Тепер візьмемо останню отриману формулу для висоти кільця \( h \) і підставимо її у попередню формулу:

\[ \frac{m}{\rho \cdot \pi r^2} = r \]

Зробимо необхідні перетворення для визначення радіуса \( r \):

\[ r = \sqrt{\frac{m}{\rho \cdot \pi}} \]

Знаючи щільність алюмінію \( \rho = 2.7 \, \text{г/см}^3 = 2700 \, \text{кг/м}^3 \) та масу кільця \( m = 0.07 \, \text{Н} \), підставимо ці значення в остаточну формулу:

\[ r = \sqrt{\frac{0.07}{2700 \cdot \pi}} \]

Отримаємо числове значення радіуса \( r \):

\[ r \approx 0.012 \, \text{м} \]

Щоб виразити результат в сантиметрах, переведемо метри у сантиметри:

\[ r = 0.012 \, \text{м} \cdot 100 = 1.2 \, \text{см} \]

Тому, радіус алюмінієвого кільця приблизно дорівнює 1.2 см (заокруглено до цілих).