Який є розмір кута між площинами трикутників ABC і ABD? Трикутник ABC є рівностороннім зі стороною 4корінь3

Молния

34

Щоб визначити кут між площинами трикутників ABC і ABD, нам знадобиться знати довжини сторін цих трикутників.

За даними, трикутник ABC є рівностороннім, тому всі його сторони мають однакову довжину. Значить, довжина сторони AB, BC і CA також дорівнюють 4√3 см.

Трикутник ABD є рівнобедреним, тобто сторони AD і BD мають однакову довжину. За даними, AD = BD = √14 см.

Тепер ми можемо визначити довжину відрізка AB. Так як трикутник ABC - рівносторонній, то довжина сторони AB дорівнює 4√3 см.

Тепер розглянемо трикутник ABD. Використовуючи теорему Піфагора, можемо знайти довжину діагоналі AC (що є бісектрисою кута ABD):
$$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2$$
$$A{C}^2=(\sqrt{14}{)}^2+(4\sqrt{3}{)}^2$$
$$A{C}^2=14+48$$
$$A{C}^2=62$$
$$AC=\sqrt{62}$$

Тепер ми можемо використати косинусну теорему, щоб встановити відношення між довжиною відрізка AB (стороною рівностороннього трикутника) і AC (діагоналлю трикутника ABD):
$$\cos (\mathrm{\angle }CAB)=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$$

Підставимо відповідні значення:
$$\cos (\mathrm{\angle }CAB)=\frac{(4\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{62}{)}^2-(4\sqrt{3}{)}^2}{2\cdot (4\sqrt{3})\cdot \sqrt{62}}$$

Скористаємося калькулятором, щоб обчислити це вираження. В результаті отримаємо:
$$\cos (\mathrm{\angle }CAB)\approx 0.635$$

Тепер ми можемо визначити сам кут $\mathrm{\angle }CAB$, використовуючи обернену функцію косинуса (арккосинус). Отже:
$$\mathrm{\angle }CAB\approx \arccos (0.635)$$

Знову скористаємося калькулятором, щоб обчислити цей кут. В результаті отримаємо:
$$\mathrm{\angle }CAB\approx {50.59}^{\circ }$$

Таким чином, розмір кута між площинами трикутників ABC і ABD приблизно дорівнює 50.59 градусів.