Якій температурі підвищиться мідне тіло, яке падає з висоти 800 метрів, якщо 80% його механічної енергії

Анатолий

18

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения механической энергии и закон теплового равновесия.

По закону сохранения механической энергии, механическая энергия тела равна сумме его потенциальной энергии (при основании) и его кинетической энергии:
\[E_{\text{мех}} = E_{\text{п}} + E_{\text{к}}\]
где \(E_{\text{мех}}\) - механическая энергия тела, \(E_{\text{п}}\) - потенциальная энергия тела, \(E_{\text{к}}\) - кинетическая энергия тела.

Мы знаем, что 80% механической энергии тела используется на нагревание, а оставшиеся 20% остаются в виде потенциальной энергии тела после его падения:
\[E_{\text{нагр}} = 0.8 \cdot E_{\text{мех}}\]
\[E_{\text{пот}} = 0.2 \cdot E_{\text{мех}}\]

Также мы знаем, что механическая энергия тела равна работе, которую совершает сила трения при его движении, и работа преобразуется во внутреннюю энергию согласно закону теплового равновесия:
\[E_{\text{мех}} = Q_{\text{теп}}\]
где \(Q_{\text{теп}}\) - теплота, полученная телом.

Таким образом, мы можем составить уравнение:
\[Q_{\text{теп}} = E_{\text{нагр}}\]

Найдем выражение для теплоты:
\[Q_{\text{теп}} = mc\Delta T\]
где \(m\) - масса медного тела, \(c\) - удельная теплоемкость меди, \(\Delta T\) - изменение температуры тела.

Теперь мы можем приравнять это выражение к выражению для энергии нагревания:
\[mc\Delta T = E_{\text{нагр}}\]

Подставим значения, которые у нас уже есть:
\[0.2 \cdot E_{\text{мех}} = mc\Delta T\]

Также в данной задаче нам дано, что тело падает с высоты 800 метров. Согласно формуле для потенциальной энергии:
\[E_{\text{пот}} = mgh\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота.

Теперь мы можем выразить механическую энергию через массу тела и его высоту:
\[E_{\text{мех}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{к}} = mgh + \frac{1}{2}mv^2 = mgh + \frac{1}{2}mg^2t^2\]
где \(v = gt\) - скорость тела после падения.

Подставим это выражение в уравнение для изменения температуры:
\[0.2(mgh + \frac{1}{2}mg^2t^2) = mc\Delta T\]

Теперь можно решить уравнение относительно \(\Delta T\). Для этого сначала упростим его:
\[mgh + \frac{1}{2}mg^2t^2 = 5mc\Delta T\]
\[gh + \frac{1}{2}g^2t^2 = 5c\Delta T\]
\[5c\Delta T = gh + \frac{1}{2}g^2t^2\]
\[\Delta T = \frac{gh + \frac{1}{2}g^2t^2}{5c}\]

Теперь подставим известные значения:
\[g = 9.8 \, \text{м/с}^2, \, h = 800 \, \text{м}, \, t = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \, c = 390 \, \text{Дж/кг} \cdot \text{К} \, \text{(удельная теплоемкость меди)}\]

Вычислим:
\[t = \sqrt{\frac{2 \cdot 800}{9.8}} = 12.62 \, \text{с}\]
\[\Delta T = \frac{9.8 \cdot 800 + \frac{1}{2} \cdot 9.8^2 \cdot (12.62)^2}{5 \cdot 390} = 78.095 \, \text{К}\]

Температура медного тела повысится на 78.095 градусов Кельвина (или на 78.095 градусов Цельсия) при падении с высоты 800 метров, если 80% его механической энергии используется на нагревание.