Який заряд має кожна кулька після того, як вони падали з ниток, які мали довжину 1 м та були закріплені в одній точці

Вечерняя_Звезда

35

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При падении кульки под действием силы тяжести, ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию.

Для начала, найдем начальную потенциальную энергию первой кульки. Поскольку длина нити равна 1 метру и кулька находится в верхней точке своего движения, разность высот между начальным и конечным положением равна 1 метру. Также известно, что угол 2a равен 90 градусам, следовательно, a равно 45 градусам или \(\frac{\pi}{4}\) радиан.

Теперь, используя формулу для потенциальной энергии \(E_{пот} = m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса кульки, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота в данном случае равна 1 метру, можем записать:

\[E_{пот_{нач}} = m \cdot g \cdot h\]

Далее рассмотрим закон сохранения механической энергии. Поскольку система состоит только из первой кульки, то механическая энергия в начальном и конечном положении будет одинаковой:

\[E_{пот_{нач}} + E_{к_{нач}} = E_{пот_{кон}} + E_{к_{кон}}\]

Поскольку у кульки нет начальной кинетической энергии (\(E_{к_{нач}} = 0\)), формула упрощается до:

\[E_{пот_{нач}} = E_{пот_{кон}} + E_{к_{кон}}\]

Теперь, чтобы найти конечную потенциальную энергию, нужно знать высоту, на которую поднялась кулька после отпускания нити. Вторая кулька образует с вертикалью угол \(a\), поэтому высота, на которую она поднялась, равна \(h_кон = h \cdot \sin a\).

Таким образом, можно записать равенство:

\[m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot h_кон + \frac{m \cdot v_{кон}^2}{2}\]

Где \(v_{кон}\) - скорость кульки в конечном положении. Заметим, что масса кульки сокращается.

Теперь, чтобы найти скорость кульки в конечном положении, воспользуемся формулой для скорости при равноускоренном движении:

\[v_{кон}^2 = 2 \cdot g \cdot h_кон\]

Подставляем выражение для \(h_кон\):

\[v_{кон}^2 = 2 \cdot g \cdot h \cdot \sin a\]

Теперь можно найти конечную потенциальную энергию:

\[E_{пот_{кон}} = m \cdot g \cdot h_кон\]

\[E_{пот_{кон}} = m \cdot g \cdot h \cdot \sin a\]

Таким образом, приравнивая начальную и конечную потенциальные энергии:

\[m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot h \cdot \sin a + \frac{m \cdot v_{кон}^2}{2}\]

Подставляем выражение для \(v_{кон}^2\):

\[m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot h \cdot \sin a + \frac{m \cdot (2 \cdot g \cdot h \cdot \sin a)}{2}\]

Для того чтобы избавиться от массы кульки, все выражения с \(m\) сокращаем:

\[g \cdot h = g \cdot h \cdot \sin a + (2 \cdot g \cdot h \cdot \sin a) \]

Раскрываем скобки:

\[g \cdot h = g \cdot h \cdot \sin a + 2 \cdot g \cdot h \cdot \sin a \]

Факторизуем \(g \cdot h\):

\[g \cdot h = g \cdot h \cdot \sin a \cdot (1 + 2) \]

\[1 = 3 \cdot \sin a \]

Решаем уравнение относительно \(\sin a\):

\[\sin a = \frac{1}{3}\]

Таким образом, мы нашли значение синуса угла \(a\). Теперь можем найти сам угол \(a\):

\[a = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right)\]

Подставляем значение \(a\):

\[a \approx \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \approx 19.47^\circ\]

Теперь мы можем рассчитать заряд каждой кульки с использованием тригонометрического соотношения для синуса угла:

\[q = q_1 = q_2\]

\[q \cdot 1 = q \cdot \sin a\]

\[1 = \sin a\]

\[1 = \sin 19.47^\circ\]

Значение синуса 19.47 градусов равно 0.3333. Таким образом, заряд каждой кульки равен 1 Кл. Такой ответ покажется необычным, но он соответствует условию задачи. Надеюсь, это решение было понятным и подробным! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!