Спортсмен пробежал половину пути со скоростью u1 = 10 м/с и затем добрался до финиша на велосипеде со скоростью u2

Путешественник

36

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу \(v = \dfrac{s}{t}\), где \(v\) - скорость, \(s\) - расстояние и \(t\) - время.

Задача говорит нам, что спортсмен пробежал половину пути и затем добрался до финиша на велосипеде. Пусть расстояние полного пути равно \(s\) метров, тогда расстояние, которое спортсмен пробежал, будет \(s/2\) метров.

Скорость, с которой спортсмен пробежал половину пути, равна \(u_1 = 10\) м/с. Значит, время, которое потребовалось спортсмену, чтобы пробежать половину пути, будет:

\[t_1 = \dfrac{s/2}{u_1}\]

Соответственно, оставшееся расстояние (\(s/2\) метров) спортсмен проехал на велосипеде со скоростью \(u_2 = 30\) м/с. По формуле \(v = \dfrac{s}{t}\) для велосипедиста, мы можем записать:

\[u_2 = \dfrac{s/2}{t_2}\]

У нас есть общее время, которое потребовалось спортсмену, чтобы преодолеть весь путь, равное \(t = 2\) часа. Таким образом, сумма времени бега и времени езды на велосипеде должна равняться общему времени:

\[t_1 + t_2 = t\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(t_1\) и \(t_2\).

Из первого уравнения \(t_1 = \dfrac{s/2}{u_1}\) мы можем выразить \(s\) через \(t_1\) и \(u_1\):

\[s = 2t_1u_1\]

Подставим это значение \(s\) во второе уравнение \(u_2 = \dfrac{s/2}{t_2}\):

\[u_2 = \dfrac{2t_1u_1/2}{t_2}\]

Сократим двойки и упростим выражение:

\[u_2 = \dfrac{t_1u_1}{t_2}\]

Мы также можем выразить \(t_2\) через \(t_1\) и \(u_1\) из условия \(t_1 + t_2 = t\):

\[t_2 = t - t_1\]

Теперь мы можем подставить это значение \(t_2\) в предыдущее уравнение и решить его относительно \(t_1\):

\[u_2 = \dfrac{t_1u_1}{(t - t_1)}\]

Решая это уравнение относительно \(t_1\), мы найдем \(t_1\):

\[t_1u_1(t - t_1) = u_2(t - t_1)\]

Раскроем скобки:

\[t_1u_1t - t_1^2u_1 = u_2t - u_2t_1\]

Группируем переменные:

\[t_1^2u_1 - u_2t_1 + u_2t = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(t_1\). Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

\[D = (-u_2)^2 - 4u_1u_2t\]

Если дискриминант \(D\) положительный, то у уравнения есть два решения. Мы только будем рассматривать положительное решение, так как время не может быть отрицательным:

\[t_1 = \dfrac{u_2 + \sqrt{D}}{2u_1}\]

Так как у нас дано, что общее время равно 2 часа (\(t = 2\) часа), мы можем подставить значения \(u_1 = 10\) м/с, \(u_2 = 30\) м/с и \(t = 2\) часа в уравнение для \(t_1\), чтобы найти окончательный ответ.

\[t_1 = \dfrac{30 + \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 30 \cdot 2}}{2 \cdot 10}\]

\[t_1 = \dfrac{30 + \sqrt{900 - 2400}}{20}\]

\[t_1 = \dfrac{30 + \sqrt{-1500}}{20}\]

Поскольку выражение под знаком корня отрицательное, это означает, что нет решений в обычных действительных числах. Таким образом, спортсмен не пробежал половину пути со скоростью 10 м/с. Возможно, была допущена ошибка в условии задачи или данные задачи несовместны.