Якого типу є кут А трикутника АВС, якщо вершини трикутника розташовані в точках А (-2; -1), В (3; 1), С (1; 5)? Який

Boris

24

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем значения сторон треугольника АВС.
Для этого воспользуемся формулой нахождения длины отрезка между двумя точками в прямоугольной системе координат.
Длина стороны AB будет равна:

\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

где (x1, y1) и (x2, y2) – координаты вершин А и В соответственно.

Подставляя значения из условия, получаем:

\[
AB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}
\]

Таким же образом найдем длины сторон BC и AC:

\[
BC = \sqrt{(1 - 3)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}
\]

\[
AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45}
\]

Шаг 2: Определим тип угла А треугольника АВС.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Формула теоремы косинусов имеет вид:

\[
\cos(A) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}
\]

где A – угол, противолежащий стороне a, a, b, c – стороны треугольника.

Вычислим значения косинусов углов треугольника АВС:

\[
\cos(A) = \frac{{BC^2 + AC^2 - AB^2}}{{2 \cdot BC \cdot AC}}
\]

\[
\cos(B) = \frac{{AB^2 + AC^2 - BC^2}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}
\]

\[
\cos(C) = \frac{{AB^2 + BC^2 - AC^2}}{{2 \cdot AB \cdot BC}}
\]

Подставляя значения, получим:

\[
\cos(A) = \frac{{\sqrt{20}^2 + \sqrt{45}^2 - \sqrt{29}^2}}{{2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{45}}}
\]

\[
\cos(B) = \frac{{\sqrt{29}^2 + \sqrt{45}^2 - \sqrt{20}^2}}{{2 \cdot \sqrt{29} \cdot \sqrt{45}}}
\]

\[
\cos(C) = \frac{{\sqrt{29}^2 + \sqrt{20}^2 - \sqrt{45}^2}}{{2 \cdot \sqrt{29} \cdot \sqrt{20}}}
\]

Вычислив эти выражения, найдем значения косинусов углов треугольника АВС.

Шаг 3: Интерпретируем значения косинусов углов треугольника.
Если косинус угла равен 1, это означает, что угол является прямым (\(90^\circ\)).
Если косинус угла больше 0 и меньше 1 (0 < cos(A) < 1), это означает, что угол является тупым (\(> 90^\circ\)).
Если косинус угла равен 0, это означает, что угол является прямым (\(180^\circ\)).
По результатам расчетов выше, определяем тип угла А.

Подводя итоги, для треугольника АВС, найдены значения сторон и тип угла А.