Якою буде швидкість, з якою гармата відскочить при стрільбі ядром масою 10 кг із швидкістю 720 км/год відносно Землі

Пчела

70

Для решения этой задачи нам понадобятся законы сохранения импульса и момента импульса. Для начала найдем горизонтальную и вертикальную компоненты начальной скорости ядра по формулам:

$$v_{0_x}=v_0\cdot \cos (\theta )$$
$$v_{0_y}=v_0\cdot \sin (\theta )$$

Где:
$v_0$ - начальная скорость ядра (720 км/ч),
$\theta$ - угол под которым выстрелили ядро (60°).

Подставим известные значения и вычислим:

$$v_{0_x}=720\cdot \cos ({60}^{\circ })$$
$$v_{0_x}=720\cdot \frac{1}{2}$$
$$v_{0_x}=360\text{ км/ч}$$

$$v_{0_y}=720\cdot \sin ({60}^{\circ })$$
$$v_{0_y}=720\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$v_{0_y}=360\sqrt{3}\text{ км/ч}$$

Теперь мы можем найти горизонтальную и вертикальную компоненты конечной скорости ядра. Поскольку сила трения нам дано пренебречь, будет выполняться закон сохранения импульса в горизонтальной плоскости:

$$v_{x_f}=-v_{x_0}$$

Таким образом, горизонтальная компонента конечной скорости ядра будет равна -360 км/ч.

Вертикальная компонента конечной скорости ядра будет меняться из-за действия силы тяжести. Мы можем использовать закон сохранения момента импульса:

$$m\cdot v_{y_0}\cdot L=m\cdot v_{y_f}\cdot L$$

Где:
$m$ - масса ядра (10 кг),
$L$ - момент инерции ядра (в данной задаче он не влияет).

Так как $L$ одинаковое для начальной и конечной скорости, можем упростить эту формулу:

$$v_{y_0}=v_{y_f}$$

То есть, вертикальная компонента конечной скорости будет иметь такое же значение по модулю и противоположное направление, что и начальная скорость ядра:

$$v_{y_f}=-v_{0_y}=-360\sqrt{3}\text{ км/ч}$$

Теперь, сформируем результирующую скорость ядра:

$$v_f=\sqrt{v_{x_f}^2+v_{y_f}^2}$$

Подставим значения и вычислим:

$$v_f=\sqrt{(-360{)}^2+(-360\sqrt{3}{)}^2}$$
$$v_f=\sqrt{129600+129600\cdot 3}$$
$$v_f=\sqrt{129600\cdot (1+3)}$$
$$v_f=\sqrt{129600\cdot 4}$$
$$v_f=\sqrt{518400}$$
$$v_f=720\text{ км/ч}$$

Таким образом, скорость, с которой гармата отскочит при выстреле ядром массой 10 кг, будет составлять 720 км/ч.