Якою буде швидкість, з якою гармата відскочить при стрільбі ядром масою 10 кг із швидкістю 720 км/год відносно Землі

Пчела

70

Для решения этой задачи нам понадобятся законы сохранения импульса и момента импульса. Для начала найдем горизонтальную и вертикальную компоненты начальной скорости ядра по формулам:

\[v_{0_x} = v_0 \cdot \cos(\theta)\]
\[v_{0_y} = v_0 \cdot \sin(\theta)\]

Где:
\(v_0\) - начальная скорость ядра (720 км/ч),
\(\theta\) - угол под которым выстрелили ядро (60°).

Подставим известные значения и вычислим:

\[v_{0_x} = 720 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[v_{0_x} = 720 \cdot \frac{1}{2}\]
\[v_{0_x} = 360 \text{ км/ч}\]

\[v_{0_y} = 720 \cdot \sin(60^\circ)\]
\[v_{0_y} = 720 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[v_{0_y} = 360 \sqrt{3}\text{ км/ч}\]

Теперь мы можем найти горизонтальную и вертикальную компоненты конечной скорости ядра. Поскольку сила трения нам дано пренебречь, будет выполняться закон сохранения импульса в горизонтальной плоскости:

\[v_{x_f} = -v_{x_0}\]

Таким образом, горизонтальная компонента конечной скорости ядра будет равна -360 км/ч.

Вертикальная компонента конечной скорости ядра будет меняться из-за действия силы тяжести. Мы можем использовать закон сохранения момента импульса:

\[m \cdot v_{y_0} \cdot L = m \cdot v_{y_f} \cdot L\]

Где:
\(m\) - масса ядра (10 кг),
\(L\) - момент инерции ядра (в данной задаче он не влияет).

Так как \(L\) одинаковое для начальной и конечной скорости, можем упростить эту формулу:

\[v_{y_0} = v_{y_f}\]

То есть, вертикальная компонента конечной скорости будет иметь такое же значение по модулю и противоположное направление, что и начальная скорость ядра:

\[v_{y_f} = -v_{0_y} = -360 \sqrt{3}\text{ км/ч}\]

Теперь, сформируем результирующую скорость ядра:

\[v_f = \sqrt{v_{x_f}^2 + v_{y_f}^2}\]

Подставим значения и вычислим:

\[v_f = \sqrt{(-360)^2 + (-360 \sqrt{3})^2}\]
\[v_f = \sqrt{129600 + 129600 \cdot 3}\]
\[v_f = \sqrt{129600 \cdot (1 + 3)}\]
\[v_f = \sqrt{129600 \cdot 4}\]
\[v_f = \sqrt{518400}\]
\[v_f = 720 \text{ км/ч}\]

Таким образом, скорость, с которой гармата отскочит при выстреле ядром массой 10 кг, будет составлять 720 км/ч.