Якщо площа повної поверхні однакової правильної п-кутної піраміди втричі більша за площу її основи, то який

Solnechnyy_Svet

39

Для того, чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим пирамиду и ее поверхность.

Пусть сторона основания пирамиды равна \(a\), а высота пирамиды равна \(h\).

Тогда площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и боковой поверхности. Площадь основания равна \(S_{\text{осн}} = a^2\).

Боковая поверхность пирамиды представляет собой равносторонний \((p-1)\)-угольник, где \(p\) - количество сторон основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:
\[S_{\text{бок}} = \frac{p \cdot a \cdot l}{2},\]
где \(l\) - длина бокового ребра пирамиды.

Суммируя площади основания и боковой поверхности, мы получаем общую площадь поверхности пирамиды:
\[S_{\text{общ}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}.\]

В условии задачи сказано, что площадь поверхности пирамиды втричи больше площади ее основания. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[S_{\text{общ}} = 3 \cdot S_{\text{осн}}.\]

Подставим выражения для площадей в это уравнение:
\[S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 3 \cdot S_{\text{осн}}.\]

Теперь найдем выражение для площади боковой поверхности пирамиды.
Поскольку боковая поверхность представляет собой равносторонний \((p-1)\)-угольник, мы можем найти длину его стороны \(l\) по формуле:
\[l = \frac{a}{2 \cdot \sin\left(\frac{180}{p}\right)}.\]

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = \frac{p \cdot a \cdot \frac{a}{2 \cdot \sin\left(\frac{180}{p}\right)}}{2} = \frac{p \cdot a^2}{4 \cdot \sin\left(\frac{180}{p}\right)}.\]

Подставим полученное выражение для площади боковой поверхности в уравнение:
\[S_{\text{осн}} + \frac{p \cdot a^2}{4 \cdot \sin\left(\frac{180}{p}\right)} = 3 \cdot S_{\text{осн}}.\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной \(p\). Решим его с помощью математических операций чтобы найти значение \(p\).

\[S_{\text{осн}} + \frac{p \cdot a^2}{4 \cdot \sin\left(\frac{180}{p}\right)} = 3 \cdot S_{\text{осн}}.\]

\[4 \cdot \sin\left(\frac{180}{p}\right) = 3.\]

Теперь найдем угол \(\frac{180}{p}\), соответствующий ответу.

\[\frac{180}{p} = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right).\]

\[p = \frac{180}{\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)}.\]

Таким образом, косинус угла в двумерной фигуре, соответствующий углу при основании пирамиды, равен \(\arccos\left(\frac{4}{3}\right)\).

Таким образом, правильный ответ на задачу - В) арккосинус 1/3.