Якщо у рівнобічної трапеції з основами 8 см і 20 см вписаний круг, то яку площу має цей круг?

Ячменка

21

В данной задаче нам даны размеры оснований рівнобічної трапеції, которые равны 8 см и 20 см. Мы должны найти площадь вписанного круга.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться следующим свойством: если круг вписан в рівнобічну трапецію, то его центр совпадает с центром тяжести трапеции. Это означает, что центр круга будет находиться на пересечении двух диагоналей трапеции.

Для нахождения площади круга, нам понадобится радиус этого круга. Радиус можно найти, зная одну из диагоналей трапеции. Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанного круга в рівнобічну трапецію:

\[ r = \sqrt{\frac{S}{p \tan{\frac{\alpha}{2}}}} \]

где \( S \) - площадь трапеции, \( p \) - полупериметр трапеции (сумма всех сторон), \( \alpha \) - угол между основаниями.

Для начала найдем площадь трапеции. Для этого воспользуемся формулой:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( a \) и \( b \) - длины оснований трапеции, \( h \) - высота трапеции.

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{(8 + 20) \cdot h}{2} \]

Теперь найдем высоту трапеции. В рівнобічній трапеції высота равна расстоянию от одного из оснований до середины противоположного бокового ребра. В данном случае, высота будет равна половине длины бокового ребра, так как он делит трапецию на два равных треугольника.

\[ h = \frac{a - b}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ h = \frac{8 - 20}{2} \]

Теперь, когда у нас есть площадь трапеции и радиус вписанного круга, можем найти площадь круга. Для этого воспользуемся формулой для площади круга:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2 \]

Подставим известные значения:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot (\sqrt{\frac{S}{p \tan{\frac{\alpha}{2}}}})^2 \]

Таким образом, найденная площадь круга будет ответом на эту задачу.

Обратите внимание, что в данном решении использованы формулы и свойства геометрии, поэтому для удобства вычислений были использованы числовые значения. В реальных расчетах можно было бы продолжить использовать их в алгебраической форме, чтобы получить точный ответ в виде числа или в виде выражения с использованием символов.