Яку довжину має гіпотенуза прямокутного трикутника, якщо радіус кола, вписаного у нього, дорівнює 2 см? І знайдіть

Карнавальный_Клоун

36

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о связи между геометрическими характеристиками прямоугольного треугольника и радиусом вписанной окружности.

Приготовьтесь, я расскажу вам шаг за шагом, как решать эту задачу.

1. Первым шагом, давайте вспомним формулу, связывающую радиус окружности \( R \), вписанной в прямоугольный треугольник, с длинами его сторон:
\[ R = \frac{{a + b - c}}{2}, \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) - длины сторон треугольника, а \( c \) - гипотенуза.

2. У нас исходные данные: радиус окружности \( R = 2 \) см. Мы хотим найти длину гипотенузы \( c \) и периметр треугольника.

3. Подставим известное значение радиуса и неизвестный \( c \) в формулу из пункта 1:
\[ 2 = \frac{{a + b - c}}{2}. \]

4. Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от деления на 2:
\[ 4 = a + b - c. \]

5. С учетом того, что наш треугольник прямоугольный, мы также можем использовать теорему Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2. \]

6. Нам необходимо учесть, что в данной задаче нам известен только радиус окружности \( R \), а не длины сторон треугольника. Однако, можно заметить, что радиус окружности равен полусумме катетов \( R = \frac{{a + b}}{2} \).

7. Используем полученное равенство и преобразуем его:
\[ R^2 = \left(\frac{{a + b}}{2}\right)^2. \]

8. Раскроем скобки в правой части:
\[ R^2 = \frac{{a^2 + 2ab + b^2}}{4}. \]

9. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 4R^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]

10. Подставим известное значение радиуса и преобразуем уравнение:
\[ 4 \cdot 2^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]
\[ 16 = a^2 + 2ab + b^2. \]

11. Если вы внимательно посмотрите на уравнения из пунктов 4 и 11, то заметите, что \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \).

12. Теперь мы можем написать следующую систему уравнений:
\[ \begin{cases}
a + b - c = 4 \\
a + b = 4
\end{cases} \]

13. Из первого уравнения системы мы можем выразить \( a + b \):
\[ a + b = c + 4. \]

14. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
\[ c + 4 = 4. \]

15. Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
\[ c = 0. \]

16. Мы получили, что длина гипотенузы равна 0, что противоречит геометрическим свойствам треугольника. Это значит, что такого треугольника не существует.

Ответ: Нет прямоугольного треугольника, у которого радиус вписанной окружности равен 2 см.