Яку довжину має менша сторона прямокутника з діагоналлю 20 см, що утворює кут 60 градусів з однією зі сторін?

Белочка

55

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств прямоугольного треугольника и тригонометрии. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Обозначим меньшую сторону прямоугольника через \(x\) см.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник, образованный малой стороной, диагональю и одной из сторон прямоугольника.

Шаг 3: Известно, что угол между малой стороной и стороной прямоугольника равен 60 градусов.

Шаг 4: Так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора имеем:

\[
x^2 + a^2 = 20^2,
\]

где \(a\) - другая сторона прямоугольника.

Шаг 5: Также, из свойств треугольника и знания тригонометрии, мы можем записать:

\[
\sin 60^\circ = \frac{a}{20},
\]

где \(\sin 60^\circ\) - синус 60 градусов.

Шаг 6: Для нахождения \(\sin 60^\circ\) можно воспользоваться таблицей значений синуса или калькулятором. В данном случае, \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 7: Подставим значение \(\sin 60^\circ\) в уравнение из шага 5:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{20}.
\]

Шаг 8: Теперь, найдем \(a\), умножив обе части уравнения на 20:

\[
a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20.
\]

Шаг 9: Последний шаг - найдем \(x\) по формуле из шага 4:

\[
x^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times 20\right)^2 = 20^2.
\]

Шаг 10: Решаем это уравнение относительно \(x\):

\[
x^2 + 300 = 400,
\]
\[
x^2 = 400 - 300,
\]
\[
x^2 = 100,
\]
\[
x = \sqrt{100},
\]
\[
x = 10.
\]

Ответ: Меньшая сторона прямоугольника равна 10 см.