Яку кількість атомів радіоактивного срібла (аргентуму 111) у зразку за 30 днів зменшилося в 16 разів? Встановіть період

Океан_9542

39

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о понятии периода полураспада и формуле, связывающей количество вещества после определенного времени и исходное количество вещества.

Задача говорит нам о том, что количество атомов радиоактивного серебра уменьшилось в 16 раз за 30 дней. Нам нужно найти период полураспада этого изотопа.

Введем обозначения:
- \(N_0\) - исходное количество атомов радиоактивного серебра.
- \(N\) - количество атомов радиоактивного серебра после прошедшего времени.
- \(t\) - прошедшее время в единицах, с которыми работаем (в данном случае в днях).
- \(T\) - период полураспада радиоактивного серебра.

Из условия задачи, нам известно, что количество атомов радиоактивного серебра уменьшилось в 16 раз. Мы можем записать это следующим образом:

\[
\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}
\]

Также нам сказано, что прошло 30 дней:

\[t = 30\]

Используя формулу для радиоактивного распада:

\[
N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}
\]

Мы можем подставить известные значения и найти период полураспада:

\[
\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{T}}
\]

Для решения данного уравнения, выражение \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{T}}\) должно быть равно \(\frac{1}{16}\). Для этого возьмем логарифм от обеих частей:

\[
\log\left(\frac{1}{16}\right) = \log\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{T}}\right)
\]

Используя свойство логарифма \(\log(a^b) = b\log(a)\), получаем:

\[
-2 = \frac{30}{T} \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)
\]

Теперь оставим только неизвестную переменную \(T\) в уравнении:

\[
T = \frac{30 \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)}{-2}
\]

Вычислим значение выражения \(\log\left(\frac{1}{2}\right)\). Используя свойство логарифма \(\log\left(\frac{1}{a}\right) = -\log(a)\), получаем:

\[
T = \frac{30 \cdot \log 2}{2}
\]

Подставляем числовые значения и получаем окончательный ответ:

\[
T \approx 21.6 \text{ дней}
\]

Таким образом, период полураспада этого изотопа радиоактивного серебра составляет около 21.6 дней.