Яку найменшу швидкість у горизонтальному напрямку треба дати сталевій кульці, яка знаходиться на легкій нитці довжиною

Yagoda

47

Чтобы разобраться с этой задачей, мы можем использовать законы сохранения энергии и центростремительной силы.

Первым делом, мы можем рассмотреть начальную и конечную точки движения шарика. На начальной точке шарик находится в горизонтальном положении, а на конечной точке он будет находиться в вертикальном положении. Поскольку мы знаем длину нити, мы можем вычислить высоту его подъема.

Давайте обозначим массу кульки как \(m\), скорость в горизонтальном направлении как \(v\), радиус окружности, которую описывает нить, как \(r\), и высоту подъема как \(h\).

Зная, что работа, совершаемая силой тяжести, переходящая в потенциальную энергию на высоте подъема, равна изменению механической энергии системы, можно записать следующее:

\[mg\cdot h=\frac{1}{2}mv^2\]

Здесь \(g\) - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²).

Также, можно выразить скорость \(v\) через радиус окружности \(r\) и период обращения \(T\) (время, за которое кулька совершает полный оборот):

\[v=\frac{2\pi r}{T}\]

Теперь мы можем объединить эти два уравнения, чтобы найти значение скорости \(v\), при которой кулька сможет повернуться на всю высоту подъема \(h\).

\[mg\cdot h=\frac{1}{2}m\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2\]

Далее, мы можем упростить это уравнение, убрав массу кульки \(m\) с обеих сторон и выразив период обращения \(T\) через скорость \(\omega = \frac{2\pi}{T}\):

\[gh=\frac{1}{2}\omega^2 r^2\]

И, наконец, введем угловую скорость \(\omega\) через скорость \(v\) и радиус окружности \(r\) (так как \(v = \omega r\)):

\[gh=\frac{1}{2}\left(\frac{v}{r}\right)^2r^2\]

Выполняя простые алгебраические вычисления, мы получаем:

\[gh=\frac{1}{2}v^2\]

Теперь мы можем найти выражение для скорости \(v\):

\[v=\sqrt{2gh}\]

Таким образом, чтобы стальная кулька могла полностью повернуться в вертикальной плоскости, ей необходимо иметь скорость \(v\), равную \(\sqrt{2gh}\).

Подставляя значения, где \(g \approx 9.8 \, м/с^2\) и \(h = 0.5 \, м\), мы получаем:

\[v=\sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.5} \approx 4.43 \, м/с\]

Таким образом, чтобы стальная кулька могла полностью обернуться в вертикальной плоскости, необходимо дать ей минимальную скорость примерно равной 4.43 м/с.