Яку об єм має правильна трикутна піраміда зі стороною основи, що дорівнює 4√3 см, та висотою 12√3?

Zhuchka_1379

2

Для того чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нужно использовать формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Для начала рассчитаем площадь основания. Правильный треугольник можно разделить на два равнобедренных треугольника, используя медиану (высоту), которая пересекает основание пополам и проходит через вершину треугольника.

По свойствам равнобедренного треугольника, длина медианы равна половине длины основания, то есть \(\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). Значит, площадь каждого равнобедренного треугольника будет:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h,\]

где \(b\) - длина основания равнобедренного треугольника, \(h\) - высота равнобедренного треугольника.

Подставим известные значения:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24.\]

Теперь, используя найденную площадь основания (\(S_{\text{треуг}} = 24\)) и заданную высоту (\(h = 12\sqrt{3}\)), подставим значения в формулу для нахождения объема:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 12\sqrt{3} = 8 \cdot 12\sqrt{3} = 96\sqrt{3}.\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной \(4\sqrt{3}\) см, и высотой \(12\sqrt{3}\) см, равен \(96\sqrt{3}\) кубических сантиметров.