Яку площу має переріз, що відтинає дугу по 90 градусів від осей циліндра, переріз розташований поперек осі циліндра

Пугающая_Змея

67

Для решения этой задачи, давайте обратимся к геометрическим свойствам цилиндра.

Перерез, который отсекает дугу на 90 градусов от осей цилиндра, является круговым сечением. Для начала найдем радиус основы цилиндра.

Мы знаем, что перерез расположен поперек оси цилиндра на расстоянии 3 см от оси. Так как перерез является круговым сечением, это расстояние от центра основы до перереза будет равно радиусу основы цилиндра.

Поэтому, радиус основы цилиндра равен 3 см.

Теперь перейдем к нахождению высоты цилиндра. Мы знаем, что перерез отсекает дугу на 90 градусов от осей цилиндра. Вспомним, что у круга всегда сумма центральных и периферийных углов вокруг центра равна 360 градусов. Так как угол дуги равен 90 градусам, то угол центрального сектора (угол, образованный перерезом) будет 360 - 90 = 270 градусов.

Таким образом, у нас есть сектор круга, угол которого 270 градусов, а радиус равен 3 см.

Теперь воспользуемся соотношением между длиной дуги \( l \), углом сектора \( \theta \) и радиусом \( r \):

\[ l = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r \]

Заменяя значения, получаем:

\[ l = \frac{270}{360} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{3}{4} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{9}{2}\pi \]

Так как перерез отсекает дугу, то его длина равна \( l \). Поскольку это также длина окружности основы цилиндра, мы можем использовать формулу для длины окружности:

\[ l = 2\pi \cdot r_1 \]

где \( r_1 \) - радиус основы цилиндра.

Подставим значение длины перереза и найденное значение радиуса основы цилиндра:

\[ \frac{9}{2}\pi = 2\pi \cdot r_1 \]

Сокращая \(\pi\) с обеих сторон, получаем:

\[ \frac{9}{2} = 2 \cdot r_1 \]

Далее, делим обе части уравнения на 2:

\[ r_1 = \frac{9}{4} \]

Таким образом, радиус основы цилиндра равен \( \frac{9}{4} \) см.

Найдем теперь высоту цилиндра. Мы знаем, что перерез отсекает дугу на 90 градусов от осей цилиндра, и этот угол является высотой цилиндра.

Следовательно, высота цилиндра равна 90 градусов или \( \frac{\pi}{2} \) радиан.

Итак, радиус основы цилиндра равен \( \frac{9}{4} \) см, а его высота равна \( \frac{\pi}{2} \) радиан или 90 градусов.