Является ли четырехугольник с вершинами А(-3;3), В (2;4), С(1,-1) и D(-4,-2) ромбом?

Hrabryy_Viking

4

Чтобы определить, является ли данный четырехугольник ромбом, нам необходимо проверить, выполняются ли определенные условия этой фигуры.

1. Все стороны четырехугольника должны быть равны между собой. Для этого мы можем рассчитать расстояния между каждой парой вершин и сравнить их.

Расстояния между вершинами:
AB = \(\sqrt{(2-(-3))^2 + (4-3)^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}\)
BC = \(\sqrt{(1-2)^2 + (-1-4)^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\)
CD = \(\sqrt{(-4-1)^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}\)
DA = \(\sqrt{(-4-(-3))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\)

Мы видим, что все четыре стороны имеют одинаковую длину \(\sqrt{26}\), поэтому первое условие выполняется.

2. Противоположные углы четырехугольника должны быть равны между собой. Чтобы это проверить, мы можем использовать координаты вершин и формулу для нахождения угла между векторами.

Угол ABC = arccos\(\left(\frac{(2+3)(4-3) + (4-3)(2-(-3))}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right) = arccos\left(\frac{4+15}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right)\)
Угол BCD = arccos\(\left(\frac{(1-2)(-1-4) + (-1-4)(-4-1)}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right) = arccos\left(\frac{-13+15}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right)\)

После вычислений мы получим значения углов ABC и BCD. Если они равны между собой, то второе условие также будет выполнено.

3. Диагонали четырехугольника должны быть перпендикулярны друг другу. Чтобы это проверить, мы можем использовать координаты вершин и формулу для нахождения угла между векторами.

Угол BAC = arccos\(\left(\frac{(2-(-3))(3-4) + (4-3)(-3-(-4))}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right) = arccos\left(\frac{5-4}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right)\)
Угол CAD = arccos\(\left(\frac{(2-1)(3-(-1)) + (1-(-4))(3-(-2))}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right) = arccos\left(\frac{1+54}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{10}}\right)\)

Мы можем сравнить значения углов BAC и CAD. Если они равны между собой и их сумма составляет 90 градусов, то третье условие будет выполнено.

Если все три условия выполняются, то данный четырехугольник является ромбом. Чтобы ответить на ваш вопрос, я рассчитаю указанные углы и сравню их значения.