Является ли четырехугольник с вершинами A (-5;3 4), B (-1;-7;5) C (6;-5;-3) D (2;5;-4) квадратом?

Yaksha_1678

66

Чтобы определить, является ли данный четырехугольник квадратом, мы должны проверить выполнение двух условий: его стороны должны быть равными друг другу и его углы должны быть прямыми.

1. Проверка равенства сторон:
Для этого мы можем вычислить длины всех сторон четырехугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.
Длина стороны AB:
\[\sqrt{(-1 - (-5))^2 + (-7 - 3)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117}.\]

Длина стороны BC:
\[\sqrt{(6 - (-1))^2 + (-5 - (-7))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{7^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117}.\]

Длина стороны CD:
\[\sqrt{(2 - 6)^2 + (5 - (-5))^2 + (-4 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 10^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117}.\]

Длина стороны DA:
\[\sqrt{(-5 - 2)^2 + (3 - 5)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117}.\]

Все стороны четырехугольника AB, BC, CD и DA имеют одинаковую длину \(\sqrt{117}\), поэтому первое условие (равенство сторон) выполняется.

2. Проверка прямых углов:
Чтобы узнать, являются ли углы данного четырехугольника прямыми, мы можем использовать свойство, что прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
Мы можем проверить, являются ли все углы представленного четырехугольника прямыми углами, вычислив скалярное произведение векторов, образованных его сторонами.

Векторы AB, BC, CD и DA могут быть найдены следующим образом:
\(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-1 - (-5), -7 - 3, 5 - 4) = (4, -10, 1).\)
\(\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (6 - (-1), -5 - (-7), -3 - 5) = (7, 2, -8).\)
\(\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) = (2 - 6, 5 - (-5), -4 - (-3)) = (-4, 10, -1).\)
\(\vec{DA} = (x_A - x_D, y_A - y_D, z_A - z_D) = (-5 - 2, 3 - 5, 4 - (-4)) = (-7, -2, 8).\)

Затем мы вычислим скалярное произведение для каждой пары векторов и узнаем, являются ли они равными нулю (что будет означать, что углы соответствующие сторонам равны прямым):

\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 7 + (-10) \cdot 2 + 1 \cdot (-8) = 28 - 20 - 8 = 0.\)
\(\vec{BC} \cdot \vec{CD} = 7 \cdot (-4) + 2 \cdot 10 + (-8) \cdot (-1) = -28 + 20 +8 = 0.\)
\(\vec{CD} \cdot \vec{DA} = (-4) \cdot (-7) + 10 \cdot (-2) + (-1) \cdot 8 = 28 - 20 - 8 = 0.\)
\(\vec{DA} \cdot \vec{AB} = (-7) \cdot 4 + (-2) \cdot (-10) + 8 \cdot 1 = -28 + 20 + 8 = 0.\)

Как видно, все скалярные произведения равны нулю, что означает, что все углы четырехугольника являются прямыми углами.

Таким образом, выполняются оба условия: все стороны равны друг другу и все углы прямые. Поэтому данный четырехугольник является квадратом.