а) Опишите модель: Требуется найти расход снарядов, при котором вероятность поражения цели составит не менее

Александр

11

а) Для решения задачи о расходе снарядов для достижения вероятности поражения цели не менее 0,7, давайте посмотрим на вероятность промаха и вероятность попадания.

Пусть вероятность промаха при одном выстреле равна \(p_0\) и вероятность попадания равна \(p_1\). В нашем случае \(p_0 = 1 - p_1 = 1 - 0,2 = 0,8\).

Мы можем представить модель как последовательность независимых испытаний Бернулли, где каждое испытание представляет собой выстрел снаряда. Вероятность успеха в каждом испытании (попадания) равна \(p_1\), а вероятность неудачи (промаха) равна \(p_0\).

Теперь нам нужно найти расход снарядов (количество выстрелов), при котором вероятность поражения цели будет составлять не менее 0,7.

Мы можем использовать биномиальное распределение, чтобы найти вероятность получения определенного количества попаданий из заданного числа выстрелов.

Пусть \(X\) - случайная величина, представляющая число попаданий из \(n\) выстрелов. Тогда вероятность \(P(X = k)\) задается формулой биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p_1^k \cdot p_0^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\) (число сочетаний из \(n\) по \(k\) равно \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)).

Мы хотим найти значение \(n\), при котором вероятность поражения цели будет не менее 0,7. То есть нам нужно найти наименьшее целое значение \(n\), для которого выполняется неравенство:

\[\sum_{k=0}^{n} P(X = k) = P(X \geq k) \geq 0,7\]

Теперь давайте приступим непосредственно к решению задачи:

Количество попаданий в \(n\) выстрелах следует биномиальному распределению, записанному как \(X \sim B(n, p_1)\).

Теперь мы можем использовать таблицу значений биномиального распределения или вычислить значения вероятностей для \(X\), начиная с 0 и увеличивая \(n\) до тех пор, пока вероятность не станет равной или превысит 0,7.

Давайте это сделаем в следующей таблице:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & P(X \geq k)\\
\hline
0 & 0,2\\
1 & 0,4\\
2 & 0,64\\
3 & 0,784\\
4 & 0,8704\\
5 & 0,92224\\
6 & 0,95374\\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что при \(n = 6\) вероятность поражения цели (\(P(X \geq k)\)) превышает 0,7 (0,95374). Следовательно, для достижения вероятности поражения цели не менее 0,7 необходимо выполнить залп из 6 выстрелов.

б) Теперь рассмотрим решение графическим методом. Мы хотим найти значение \(n\), при котором вероятность поражения цели будет не менее 0,7.

Plot the graph: