З якої висоти впав об єкт масою 1 кг, який без початкової швидкості падає на вертикально розташовану невагому пружину

Pizhon

18

Задача: З якої висоти впав об"єкт масою 1 кг, який без початкової швидкості падає на вертикально розташовану невагому пружину жорсткістю 500 Н/м, внаслідок чого пружина деформувалася на 0,2 м?

Щоб розв"язати цю задачу, ми можемо скористатися законами збереження енергії. Вихідна потенціальна енергія об"єкта перетворюється на потенціальну енергію пружини та кінетичну енергію об"єкта.

Визначимо початкову потенціальну енергію об"єкта, коли він перебуває на висоті \( h \) над поверхнею пружини. Потенціальна енергія \( E_p \) об"єкта залежить від його маси \( m \) та висоти \( h \) і обчислюється за формулою:

\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]

де \( g \) - прискорення вільного падіння, \( g \approx 9,8 \, м/с^2 \).

Після того, як об"єкт падає на пружину, він деформує її. За законом Гука відштовхувальна сила пружини \( F_c \) залежить від її жорсткості \( k \) та деформації \( x \) і обчислюється за формулою:

\[ F_c = k \cdot x \]

де \( k \) - жорсткість пружини, \( F_c \) - сила пружини, а \( x \) - деформація пружини.

Під час деформації пружини, енергія об"єкта перетворюється на потенціальну енергію пружини, яка обчислюється також за формулою:

\[ E_c = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 \]

де \( E_c \) - потенціальна енергія пружини, \( k \) - жорсткість пружини, а \( x \) - деформація пружини.

Оскільки закон збереження енергії стверджує, що сума початкової потенціальної енергії та початкової кінетичної енергії об"єкта рівна сумі потенціальної енергії пружини та кінетичної енергії об"єкта після контакту з пружиною, можемо записати рівняння:

\[ E_p = E_c \]

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 \]

Підставимо дані у вираз:

\[ 1 \cdot 9,8 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot (0,2)^2 \]

\[ 9,8h = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 0,04 \]

\[ 9,8h = 10 \]

\[ h = \frac{10}{9,8} \]

\[ h \approx 1,0204 \, м \]

Отже, об"єкт впав з висоти близько 1,0204 метра.