За какой промежуток времени в кольце будет выделяться теплота, равная 32 мкдж, если магнитное поле возрастает

Сквозь_Песок

9

Для решения этой задачи мы будем использовать закон электромагнитной индукции Фарадея. Закон Фарадея гласит, что электродвижущая сила \( \mathcal{E} \), индуцируемая в контуре, равна скорости изменения магнитного потока через этот контур.

Сначала найдем изменение магнитного потока \( \Delta \Phi \) через кольцо. Формула для магнитного потока через площадку, пронизываемую магнитным полем, выглядит следующим образом:

\[ \Phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta) \]

где \( B \) - магнитная индукция, \( A \) - площадь контура, а \( \theta \) - угол между магнитными силовыми линиями и плоскостью контура. В данной задаче \( \theta = 30 \) градусов.

Используя известные значения, подставим их в формулу:

\[ \Phi = B \cdot A \cdot \cos(30^\circ) \]

Подставим значения относительно заданных параметров: \( B = 0,08 \) Тл (тесла), \( A = 10 \) см\(^2\) (квадратных сантиметров) = \( 0,01 \) м\(^2\) (квадратных метров):

\[ \Phi = 0,08 \cdot 0,01 \cdot \cos(30^\circ) \]

Рассчитаем этот выражение:

\[ \Phi = 0,08 \cdot 0,01 \cdot \cos(30^\circ) = 0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь мы знаем изменение магнитного потока \( \Delta \Phi \), связанное с увеличением магнитного поля. Нам необходимо узнать, за какой временной интервал будет выделяться теплота, равная 32 мкДж (микроджоуля).

Теплота, выделяющаяся в контуре, можно выразить через изменение магнитного потока по формуле:

\[ Q = \frac{1}{2} L \cdot \left( \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right)^2 \]

где \( Q \) - выделяемая теплота, \( L \) - индуктивность контура, \( \Delta \Phi \) - изменение магнитного потока, а \( \Delta t \) - изменение времени.

Теперь найдем индуктивность контура. Индуктивность контура кольца с проволокой можно найти с помощью формулы:

\[ L = \frac{\mu_0 A N^2}{l} \]

где \( \mu_0 \) - магнитная постоянная (равная \( 4\pi \times 10^{-7} \) Гн/м), \( N \) - количество витков проволоки в контуре, \( l \) -периметр кольца.

Для простоты расчетов предположим, что проволока кольца представляет собой один виток (\( N = 1 \)). Периметр \( l \) кольца можно найти, используя формулу:

\[ l = 2\pi r \]

где \( r \) - радиус кольца.

Заданный радиус кольца не указан, поэтому предположим, что радиус равен 1 см (0,01 м):

\[ l = 2\pi \cdot 0,01 = 0,02\pi \]

Теперь используем найденные значения для вычисления индуктивности \( L \):

\[ L = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 0,01 \cdot 1^2}{0,02\pi} \]

Упростим это выражение:

\[ L = 0,01 \cdot 10^{-7} = 10^{-9} \) Гн

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы вычислить изменение времени \( \Delta t \), о котором идет речь в задаче. Подставим известные значения в уравнение для теплоты \( Q \):

\[ 32 \cdot 10^{-6}= \frac{1}{2} \cdot 10^{-9} \cdot \left( \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\Delta t} \right)^2 \]

Упростим это выражение:

\[ 32 \cdot 10^{-6} = 5 \times 10^{-18} \cdot \left( \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\Delta t} \right)^2 \]

Теперь решим это выражение относительно \( \Delta t \):

\[ \left( \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\Delta t} \right)^2 = \frac{32 \cdot 10^{-6}}{5 \times 10^{-18}} \]

Для удобства расчетов объединим все константы:

\[ \left( \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\Delta t} \right)^2 = \frac{32}{5} \times 10^{12} \]

Рассчитаем этот выражение:

\[ \left( \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\Delta t} \right)^2 = 6,4 \times 10^{12} \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон для изолирования \( \Delta t \):

\[ \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\Delta t} = \sqrt{6,4} \times 10^{6} \]

\[ \Delta t = \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6,4} \times 10^{6}} \]

Распространимся это выражение:

\[ \Delta t = \frac{0,008 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6,4}} \times 10^{-6} \]

Рассчитаем это выражение:

\[ \Delta t \approx 1,825 \times 10^{-7} \) сек

Итак, промежуток времени, в течение которого будет выделяться теплота, равная 32 мкДж при возрастании магнитного поля со скоростью 0,08 Тл/с, составляет около 1,825 x 10^{-7} секунды (или около 182,5 наносекунды).

Надеюсь, эта детальная пошаговая инструкция помогла вам лучше понять решение этой задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!