За скільки часу басейн буде наповнений, якщо відкрити дві труби одночасно, у порівнянні з тим, коли спочатку відкрити

Сумасшедший_Шерлок

61

В этой задаче у нас есть два варианта: открытие обеих труб одновременно и открытие первой трубы на 8 часов, а затем открытие второй. Давайте посмотрим на каждый вариант по отдельности.

1. Открытие обеих труб одновременно:
Предположим, что время, необходимое для наполнения бассейна при открытии обеих труб одновременно, составляет \(t\) часов.
За час работы первой трубы будет заполняться \(1/t\) бассейна, так как она работает целых \(t\) часов для полного наполнения бассейна.
Аналогично, вторая труба за час заполняет \((1 + \frac{1}{t})\) бассейна, так как она работает на \(t\) часов плюс один час, пока первая труба работает.
Таким образом, сумма заполненной воды от обеих труб за один час работы равна \((\frac{1}{t}) + (1 + \frac{1}{t}) = \frac{2}{t} + 1\) бассейна.
Теперь нам нужно найти время, за которое будет заполнен весь бассейн. Мы можем установить следующее уравнение:
\[(\frac{2}{t} + 1) \cdot t = 1\]
Раскроем скобки:
\[2 + t = 1\]
Отнимем 2 от обеих сторон:
\[t = -1\]
Такой ответ нам не подходит, поскольку время не может быть отрицательным. Следовательно, открытие обеих труб одновременно невозможно.

2. Открытие первой трубы на 8 часов, а затем открытие второй:
Пусть время, необходимое для наполнения бассейна при открытой первой трубе в течение 8 часов, составляет \(t\) часов.
За час работы первой трубы будет заполняться \(\frac{1}{t}\) бассейна, так как она работает целых \(t\) часов для полного наполнения бассейна.
Вторая труба работает на \(t\) часов, поэтому она также заполнит \(\frac{1}{t}\) бассейна за один час.
За 8 часов работы первой трубы будет заполнено \(8 \cdot \frac{1}{t} = \frac{8}{t}\) бассейна.
Далее, когда открывается вторая труба, она будет заполнять еще \(\frac{1}{t}\) бассейна за час.
Таким образом, сумма заполненной воды от обеих труб за один час после открытия второй трубы равна \(\frac{1}{t} + \frac{1}{t} = \frac{2}{t}\) бассейна.
Теперь нам нужно найти время, за которое будет заполнен оставшийся объем бассейна (1 бассейн минус \( \frac{8}{t} \) уже заполненных).
Мы можем установить следующее уравнение:
\[\frac{2}{t} \cdot t = 1 - \frac{8}{t}\]
Упростим его:
\[2 = t - \frac{8}{t}\]
\[2t = t^2 - 8\]
\[t^2 - 2t - 8 = 0\]
Данное квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации или формулы квадратного корня. Если мы решим его, получим два возможных значения:
\[t_1 = -2, t_2 = 4\]
Отрицательное значение \(t_1\) нам не подходит, поскольку время не может быть отрицательным. Следовательно, время, необходимое для наполнения бассейна, составляет 4 часа, если открыть одну трубу на 8 часов, а затем открыть вторую.