Задача 1 Найдите расстояние, которое тело пройдет за 3 секунды и за 7 секунд, при скорости движения точки V(t)
Задача 1 Найдите расстояние, которое тело пройдет за 3 секунды и за 7 секунд, при скорости движения точки V(t) = t + 3t^2 (м/с).
Задача 2 Найдите путь, который точка пройдет от начала ее движения до остановки, при скорости движения точки V(t) = 18t - 3t^2 (м/с).
Задача 2 Найдите путь, который точка пройдет от начала ее движения до остановки, при скорости движения точки V(t) = 18t - 3t^2 (м/с).
Morzh 37
Задача 1:Для нахождения расстояния, пройденного телом за определенное время, мы можем воспользоваться формулой расстояния направленного движения:
\[ S(t) = \int V(t) \, dt \]
Подставим в данную формулу функцию скорости точки V(t) = t + 3t^2 и проинтегрируем по переменной t:
\[ S(t) = \int (t + 3t^2) \, dt \]
\[ S(t) = \frac{t^2}{2} + t^3 + C \]
Теперь найдем расстояние, пройденное за 3 секунды:
\[ S(3) = \frac{(3)^2}{2} + (3)^3 + C = \frac{9}{2} + 27 + C \]
\[ S(3) = \frac{9}{2} + 27 + C = \frac{9+54}{2} + C = \frac{63}{2} + C \]
Получаем, что расстояние, пройденное телом за 3 секунды, равно \( \frac{63}{2} + C \) метров.
Теперь найдем расстояние, пройденное за 7 секунд:
\[ S(7) = \frac{(7)^2}{2} + (7)^3 + C = \frac{49}{2} + 343 + C \]
\[ S(7) = \frac{49}{2} + 343 + C = \frac{49+686}{2} + C = \frac{735}{2} + C \]
Поэтому расстояние, пройденное телом за 7 секунд, равно \( \frac{735}{2} + C \) метров.
Задача 2:
Аналогично решим задачу с использованием формулы расстояния для направленного движения:
\[ S(t) = \int V(t) \, dt \]
Подставим в данную формулу функцию скорости точки V(t) = 18t - 3t^2 и проинтегрируем по переменной t:
\[ S(t) = \int (18t - 3t^2) \, dt \]
\[ S(t) = 9t^2 - t^3 + C \]
Теперь найдем путь, пройденный точкой от начала движения до остановки. Для этого нам нужно найти момент времени t, когда скорость точки V(t) равна нулю. Для этого решим уравнение:
\[ 18t - 3t^2 = 0 \]
\[ 3t(6 - t) = 0 \]
Отсюда следует, что либо t = 0, либо 6 - t = 0. Таким образом, t может быть равно 0 или 6.
Если t = 0, то путь равен:
\[ S(0) = 9(0)^2 - (0)^3 + C = 0 + C = C \]
Если t = 6, то путь равен:
\[ S(6) = 9(6)^2 - (6)^3 + C = 9(36) - 216 + C = 324 - 216 + C = 108 + C \]
Поэтому путь, пройденный точкой от начала движения до остановки, может быть либо C метров, если остановка произошла в момент времени t = 0, либо 108 + C метров, если остановка произошла в момент времени t = 6.